Classifique as seguintes equações diferenciais segundo a ordem e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável independente.
(1) x''' + 3 t x'' = ln x
(2) x^3 y^4 + x 3 y'' + 7 x = 0
(3) y^2 d^3 x / d y^3 = 2 x^2 - y
(4) (1+x^3) f'' - 3 x^4 f' + 2 f = tan(x)
(5) d^2 f / d x^2 + ln x d f / d y = 2 x
(6) d^4 x / dy^4 + (dx / dy)^5 = cos x

Passo 1

Vamos resolver o exercício de classificar equações diferenciais segundo a ordem e a linearidade. Vamos precisar entender o que são ordem e linearidade em equações diferenciais, identificar a função incógnita e a variável independente em cada caso.

Passo 2

Equação (1):
  • Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a maior derivada presente. Aqui, a maior derivada é a terceira derivada de , então a ordem é 3.
  • Linearidade: Uma equação é linear se a função incógnita e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si. Como temos , que não é uma função linear de , a equação é não linear.
  • Função incógnita:
  • Variável independente:

Passo 3

Equação (2):
  • Ordem: A maior derivada é a segunda derivada de , então a ordem é 2.
  • Linearidade: Verificamos se a equação é linear em relação a e suas derivadas. Temos termos como , que envolve na quarta potência, tornando a equação não linear.
  • Função incógnita:
  • Variável independente:

Passo 4

Equação (3):
  • Ordem: A maior derivada é a terceira derivada de , então a ordem é 3.
  • Linearidade: A presença de torna a equação não linear.
  • Função incógnita:
  • Variável independente:

Passo 5

Equação (4):
  • Ordem: A maior derivada é a segunda derivada de , então a ordem é 2.
  • Linearidade: As funções e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si. Portanto, a equação é linear.
  • Função incógnita:
  • Variável independente:

Passo 6

Equação (5):
  • Ordem: A maior derivada é a segunda derivada de em relação a , então a ordem é 2.
  • Linearidade: A equação envolve derivadas de diferentes variáveis independentes ( e ), mas as derivadas aparecem apenas na primeira potência. Assim, a equação é linear.
  • Função incógnita:
  • Variável independente: (a equação é em derivadas parciais)

Passo 7

Equação (6):
  • Ordem: A maior derivada é a quarta derivada de , então a ordem é 4.
  • Linearidade: A presença de e torna a equação não linear.
  • Função incógnita:
  • Variável independente:

Resposta

  1. Equação (1):
    • Ordem: 3
    • Linearidade: Não linear
    • Função incógnita:
    • Variável independente:
  2. Equação (2):
    • Ordem: 2
    • Linearidade: Não linear
    • Função incógnita:
    • Variável independente:
  3. Equação (3):
    • Ordem: 3
    • Linearidade: Não linear
    • Função incógnita:
    • Variável independente:
  4. Equação (4):
    • Ordem: 2
    • Linearidade: Linear
    • Função incógnita:
    • Variável independente:
  5. Equação (5):
    • Ordem: 2
    • Linearidade: Linear
    • Função incógnita:
    • Variável independente:
  6. Equação (6):
    • Ordem: 4
    • Linearidade: Não linear
    • Função incógnita:
    • Variável independente:

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