Calcule
onde
é o solido limitado pelas superfícies
,
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de
sobre o sólido
, que é limitado pelas superfícies
,
e
. Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente em coordenadas cilíndricas, porque as superfícies são simétricas em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações das superfícies para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas,
,
e
. Assim, temos:
-
vira -
vira -
vira
Passo 3
Agora, precisamos entender como essas superfícies se intersectam para determinar os limites de integração. Vamos igualar
com
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, a primeira interseção ocorre quando
.
Passo 4
Da mesma forma, igualamos
com
:
Elevando ao quadrado:
Portanto, a segunda interseção ocorre quando
.
Passo 5
Agora que temos os limites para
, vamos determinar os limites para
. Como o sólido é simétrico em torno do eixo
,
varia de
a
.
Passo 6
Com
e
definidos, precisamos determinar os limites para
. O sólido
está entre as superfícies inferiores e superiores:
- A superfície inferior é
- A superfície superior é
para - E
para
Passo 7
Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. A integral fica:
Passo 8
Vamos resolver cada parte da integral separadamente. Primeiro, a parte de
a
:
Integrando em
:
Passo 9
Agora, a parte de
a
:
Integrando em
:
Passo 10
Agora, vamos integrar em
. Essas integrais podem ser resolvidas usando substituições trigonométricas ou integrais conhecidas. Após calcular as integrais em
, obtemos valores numéricos para cada parte.
Passo 11
Finalmente, integramos em
de
a
, o que basicamente multiplica os resultados anteriores por
.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral tripla
é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre o volume do solido no primeiro octante limitado pela superfície
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(1)
(1)
Seja
a região limitada pelas curvas
e
.
(b) Descreva como região do tipo I.
(b) Descreva
- Questão 3.
Sejaa energia interna de um gás que obedece à lei do gás ideal , sendo e constantes. Encontre e .