Calcule integral triplaB 12 d V onde B é o solido limitado pelas superfícies z=raiz3(x^2+y^2), z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de sobre o sólido , que é limitado pelas superfícies , e . Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente em coordenadas cilíndricas, porque as superfícies são simétricas em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações das superfícies para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, , e . Assim, temos:
  1. vira
  2. vira
  3. vira

Passo 3

Agora, precisamos entender como essas superfícies se intersectam para determinar os limites de integração. Vamos igualar rraiz3 = raiz1 - r^2 com 3r^2 = 1 - r^2 4r^2 = 1 r^2 = 14 r = 12 :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, a primeira interseção ocorre quando .

Passo 4

Da mesma forma, igualamos rraiz3 = raiz4 - r^2 com 3r^2 = 4 - r^2 4r^2 = 4 r^2 = 1 r = 1 :
Elevando ao quadrado:
Portanto, a segunda interseção ocorre quando .

Passo 5

Agora que temos os limites para , vamos determinar os limites para . Como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de a .

Passo 6

Com e definidos, precisamos determinar os limites para . O sólido está entre as superfícies inferiores e superiores:
  • A superfície inferior é
  • A superfície superior é para
  • E para

Passo 7

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é integral triplaB 12 , dV = 12 integral0^2pi integral0^1/2 integralrraiz3^raiz1 - r^2 r , dz , dr , dtheta + 12 integral0^2pi integral1/2^1 integralrraiz3^raiz4 - r^2 r , dz , dr , dtheta . A integral fica:

Passo 8

Vamos resolver cada parte da integral separadamente. Primeiro, a parte de 12 integral0^2pi integral0^1/2 ( raiz1 - r^2 - rraiz3 ) r , dr , dtheta a = 12 integral0^2pi integral0^1/2 ( rraiz1 - r^2 - 3r^2 ) dr , dtheta :
Integrando em :

Passo 9

Agora, a parte de 12 integral0^2pi integral1/2^1 ( raiz4 - r^2 - rraiz3 ) r , dr , dtheta a = 12 integral0^2pi integral1/2^1 ( rraiz4 - r^2 - 3r^2 ) dr , dtheta :
Integrando em :

Passo 10

Agora, vamos integrar em . Essas integrais podem ser resolvidas usando substituições trigonométricas ou integrais conhecidas. Após calcular as integrais em , obtemos valores numéricos para cada parte.

Passo 11

Finalmente, integramos em de a , o que basicamente multiplica os resultados anteriores por .

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral tripla é igual a .

Exercícios relacionados