Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(3)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação na forma padrão e encontrar o fator integrante que nos ajudará a integrar e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos todos os termos por
(já que
):
Aqui, identificamos que:
e
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Simplificando o lado esquerdo:
Isso se torna:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Portanto, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Isolando
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: