Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(3) x y' + (x + 1) y = x ; y(ln 2) = 1 , x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação na forma padrão e encontrar o fator integrante que nos ajudará a integrar e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos todos os termos por (já que ):
Aqui, identificamos que:
e

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela :
Simplificando o lado esquerdo:
Isso se torna:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Portanto, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e :
Sabemos que , então:
Isolando :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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