calcule o limite lim (x, y) (1,-1) x y+1x+y ao longo da curva y=-x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (1,-1) x y+1x+y ao longo da curva y=-x^3. A gente está trabalhando com limites em funções de duas variáveis, focando em como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (1, -1) seguindo a curva y = -x^3. Para resolver isso, vamos substituir a equação da curva na função e simplificar para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, como estamos seguindo a curva y = -x^3, vamos substituir y por -x^3 na função que queremos calcular o limite. A função original é x y + 1x + y, então substituindo, fica:
x (-x^3) + 1x + (-x^3) = -x^4 + 1x - x^3

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. No numerador, temos -x^4 + 1, que podemos reescrever como 1 - x^4. No denominador, x - x^3 pode ser fatorado como x(1 - x^2). Então, a expressão fica:
1 - x^4x(1 - x^2)
Observa que 1 - x^4 pode ser fatorado como (1 - x^2)(1 + x^2). Então, substituindo isso na expressão:
(1 - x^2)(1 + x^2)x(1 - x^2)

Passo 4

Agora, vemos que (1 - x^2) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que x neq pm1). Ficando:
1 + x^2x
Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando x se aproxima de 1:
limx to 1 1 + x^2x = 1 + (1)^21 = 1 + 11 = 21 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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