Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que é uma equação diferencial de primeira ordem. A gente vai usar o método do fator integrante para achar a solução. Precisamos entender a equação dada:
E sabemos que quando
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. A equação está na forma padrão:
Aqui,
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que a gente denota por
. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Isso porque:
E temos:
Portanto:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Sabemos que
Resposta
A solução da equação diferencial é: