Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(4) y' + 2y/x = cos(x)/x^2 ; y(pi) = 0 ; x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que é uma equação diferencial de primeira ordem. A gente vai usar o método do fator integrante para achar a solução. Precisamos entender a equação dada:

E sabemos que quando , . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. A equação está na forma padrão:

Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que a gente denota por . A fórmula para o fator integrante é:

Vamos calcular essa integral:
Então,

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Simplificando:

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto . Isso porque:

E temos:
Portanto:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :

Isso dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :

Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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