Calcule a derivada: f(x) = x^3 ln(x) + 5 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivação de funções que envolvem produtos e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Produto e as derivadas básicas de funções como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Quando temos um produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz:
Aqui, temos e . Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos derivar . A derivada de é:
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos derivar . A derivada de é:
Então:

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto para o primeiro termo :

Passo 6

Agora, vamos derivar o segundo termo da função, que é . A derivada de é , e como temos um coeficiente constante, mantemos ele:

Passo 7

Finalmente, juntamos as derivadas dos dois termos para obter a derivada total da função :

Resposta

A derivada de é:

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