Calcule a derivada: f(x) = (x * e^x) / (x^2 + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular a derivada da função . Isso está no campo de Cálculo Diferencial, mais especificamente na parte que trata de derivadas de quocientes de funções. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente e algumas outras propriedades básicas das derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a e na Regra do Quociente. A regra diz que se você tem uma função na forma , então a derivada dela é:

Passo 3

Agora, vamos separar nossa função original para identificar e :
Precisamos agora encontrar as derivadas dessas duas funções, ou seja, e .

Passo 4

Vamos começar derivando . Aqui, usamos a Regra do Produto, porque é o produto de duas funções: e .
Agora, vamos derivar :

Passo 5

Com as derivadas de e em mãos, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Expandindo a expressão dentro dos colchetes:
Então:
Portanto, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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