Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio e não precisa de cerca ao longo do rio. Se o material da cerca custa R por metro para o lado paralelo ao rio e por metro para o lado paralelo ao rio e 25,00 por metro para os outros dois lados, encontre as dimensões do campo de maior área que pode ser cercado com um custo fixo de y = sen(x^2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que cercar um campo retangular ao longo do rio. Isso significa que precisamos de cerca para três lados: um lado paralelo ao rio e dois lados perpendiculares. O custo da cerca varia: R$40,00 por metro para o lado paralelo ao rio e R$25,00 por metro para os outros dois lados. Queremos descobrir quais devem ser as dimensões desse campo para que a área seja a maior possível, sem gastar mais do que R$10.000,00. Vamos precisar usar conceitos de otimização e funções matemáticas para resolver isso.

Passo 2

Vamos chamar o lado paralelo ao rio de (em metros) e os dois lados perpendiculares de (em metros). A área que queremos maximizar é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo total da cerca. O lado paralelo ao rio custa R$40,00 por metro, então o custo desse lado é . Os dois lados perpendiculares custam R$25,00 por metro cada, então o custo total desses dois lados é . Juntando tudo, o custo total da cerca é:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, para :

Passo 5

Agora, vamos substituir a expressão de na fórmula da área:

Passo 6

Temos agora uma função quadrática para a área em termos de :
Sabemos que uma função quadrática dessa forma tem um máximo no vértice. Vamos encontrar esse ponto para maximizar a área.

Passo 7

A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola é . Aqui, e :

Passo 8

Com metros, vamos encontrar usando a equação que encontramos no Passo 4:

Resposta

As dimensões que maximizam a área do campo são:
  • Lado paralelo ao rio ( ): 125 metros
  • Lados perpendiculares ( ): 100 metros

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