Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio e não precisa de cerca ao longo do rio. Se o material da cerca custa
por metro para o lado paralelo ao rio e
25,00 por metro para os outros dois lados, encontre as dimensões do campo de maior área que pode ser cercado com um custo fixo de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que cercar um campo retangular ao longo do rio. Isso significa que precisamos de cerca para três lados: um lado paralelo ao rio e dois lados perpendiculares. O custo da cerca varia: R$40,00 por metro para o lado paralelo ao rio e R$25,00 por metro para os outros dois lados. Queremos descobrir quais devem ser as dimensões desse campo para que a área seja a maior possível, sem gastar mais do que R$10.000,00. Vamos precisar usar conceitos de otimização e funções matemáticas para resolver isso.
Passo 2
Vamos chamar o lado paralelo ao rio de
(em metros) e os dois lados perpendiculares de
(em metros). A área que queremos maximizar é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo total da cerca. O lado paralelo ao rio custa R$40,00 por metro, então o custo desse lado é
. Os dois lados perpendiculares custam R$25,00 por metro cada, então o custo total desses dois lados é
. Juntando tudo, o custo total da cerca é:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, para
:
Passo 5
Agora, vamos substituir a expressão de
na fórmula da área:
Passo 6
Temos agora uma função quadrática para a área em termos de
:
Sabemos que uma função quadrática dessa forma tem um máximo no vértice. Vamos encontrar esse ponto para maximizar a área.
Passo 7
A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola
é
. Aqui,
e
:
Passo 8
Com
metros, vamos encontrar
usando a equação que encontramos no Passo 4:
Resposta
As dimensões que maximizam a área do campo são:
- Lado paralelo ao rio (
): 125 metros - Lados perpendiculares (
): 100 metros