Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de valor inicial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão:
Dividindo todos os termos por , temos:
Agora, identificamos:

Passo 3

Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Como pode ser positivo ou negativo, mas nosso ponto inicial é , podemos considerar .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Vamos calcular a integral usando integração por partes.

Passo 6

Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Portanto,

Passo 7

Resolvendo para :
Ou, de forma simplificada:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Simplificando:
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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(13.3) á
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial . Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.3) á