Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de valor inicial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Agora, identificamos:
Passo 3
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Como
pode ser positivo ou negativo, mas nosso ponto inicial é
, podemos considerar
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Vamos calcular a integral
usando integração por partes.
Passo 6
Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Portanto,
Passo 7
Resolvendo para
:
Ou, de forma simplificada:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é:
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Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento sem nenhuma velocidade inicial a partir de uma posição inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(13.3)
(13.3)
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.3)
(14.3)