Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de valor inicial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Agora, identificamos:
Passo 3
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Como
pode ser positivo ou negativo, mas nosso ponto inicial é
, podemos considerar
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Vamos calcular a integral
usando integração por partes.
Passo 6
Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Portanto,
Passo 7
Resolvendo para
:
Ou, de forma simplificada:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é: