Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento sem nenhuma velocidade inicial a partir de uma posição inicial u(x, 0) = f(x). Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(13.3) f(x) = { 1, L/2 - 1 < x < L/2 + 1, (L > 2) ; 0, caso contrário }á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma corda elástica de comprimento L com as extremidades fixas. Ela está sendo movimentada a partir de uma posição inicial sem nenhuma velocidade inicial. A função f(x) é uma espécie de “retângulo” centrado no meio da corda, valendo 1 num intervalo e 0 fora dele. Vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma forma de resolver equações diferenciais como a da corda vibrante, dividindo o problema em partes que a gente consegue resolver separadamente.

Passo 2

Primeiro, a gente lembra que a equação que descreve o movimento da corda é a equação da onda:
Aqui, descreve a posição vertical da corda no ponto x e no tempo t, e c é a velocidade de propagação da onda na corda.

Passo 3

Como as extremidades estão fixas, temos as condições de contorno:
Além disso, como não há velocidade inicial, a condição inicial para a derivada em relação ao tempo é:

Passo 4

Agora, usamos a separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de t:
Ao substituir na equação da onda e separar as variáveis, chegamos a duas equações ordinárias:
Onde lambda é uma constante que separa as duas equações.

Passo 5

Resolvemos primeiro para com as condições de contorno. A solução geral para é:
Onde n é um número inteiro positivo. Isso porque as funções seno satisfazem .

Passo 6

Agora, resolvemos para T(t). A solução geral é:
Como a velocidade inicial é zero, a condição nos dá que .

Passo 7

Assim, a solução para cada modo n fica:
A solução geral é a soma de todos os modos:

Passo 8

Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial . Isso nos dá:
Como f(x) é uma função definida por partes, calculamos os coeficientes usando a fórmula de Fourier:

Passo 9

Substituindo a função f(x) no intervalo onde ela vale 1, que é de a , e 0 fora, temos:
Resolvendo essa integral, obtemos:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, substituímos de volta na série. A solução completa fica:

Resposta

A solução do problema é dada pela série:

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