Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento sem nenhuma velocidade inicial a partir de uma posição inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(13.3)
(13.3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma corda elástica de comprimento
com as extremidades fixas. Ela está sendo movimentada a partir de uma posição inicial
sem nenhuma velocidade inicial. A função
é uma espécie de “retângulo” centrado no meio da corda, valendo 1 num intervalo e 0 fora dele. Vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma forma de resolver equações diferenciais como a da corda vibrante, dividindo o problema em partes que a gente consegue resolver separadamente.
Passo 2
Primeiro, a gente lembra que a equação que descreve o movimento da corda é a equação da onda:
Aqui,
descreve a posição vertical da corda no ponto
e no tempo
, e
é a velocidade de propagação da onda na corda.
Passo 3
Como as extremidades estão fixas, temos as condições de contorno:
Além disso, como não há velocidade inicial, a condição inicial para a derivada em relação ao tempo é:
Passo 4
Agora, usamos a separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
:
Ao substituir na equação da onda e separar as variáveis, chegamos a duas equações ordinárias:
Onde
é uma constante que separa as duas equações.
Passo 5
Resolvemos primeiro para
com as condições de contorno. A solução geral para
é:
Onde
é um número inteiro positivo. Isso porque as funções seno satisfazem
.
Passo 6
Agora, resolvemos para
. A solução geral é:
Como a velocidade inicial é zero, a condição
nos dá que
.
Passo 7
Assim, a solução para cada modo
fica:
A solução geral é a soma de todos os modos:
Passo 8
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
. Isso nos dá:
Como
é uma função definida por partes, calculamos os coeficientes
usando a fórmula de Fourier:
Passo 9
Substituindo a função
no intervalo onde ela vale 1, que é de
a
, e 0 fora, temos:
Resolvendo essa integral, obtemos:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, substituímos
de volta na série. A solução completa fica:
Resposta
A solução do problema é dada pela série: