Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento sem nenhuma velocidade inicial a partir de uma posição inicial . Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(13.3) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, L / 2-12) \ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.$
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma corda elástica de comprimento com as extremidades fixas. Ela está sendo movimentada a partir de uma posição inicial sem nenhuma velocidade inicial. A função é uma espécie de "retângulo" centrado no meio da corda, valendo 1 num intervalo e 0 fora dele. Vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma forma de resolver equações diferenciais como a da corda vibrante, dividindo o problema em partes que a gente consegue resolver separadamente.
Passo 2
Primeiro, a gente lembra que a equação que descreve o movimento da corda é a equação da onda:
Aqui, descreve a posição vertical da corda no ponto e no tempo , e é a velocidade de propagação da onda na corda.
Passo 3
Como as extremidades estão fixas, temos as condições de contorno:
Além disso, como não há velocidade inicial, a condição inicial para a derivada em relação ao tempo é:
Passo 4
Agora, usamos a separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de e outra que depende só de :
Ao substituir na equação da onda e separar as variáveis, chegamos a duas equações ordinárias:
Onde é uma constante que separa as duas equações.
Passo 5
Resolvemos primeiro para com as condições de contorno. A solução geral para é:
Onde é um número inteiro positivo. Isso porque as funções seno satisfazem .
Passo 6
Agora, resolvemos para . A solução geral é:
Como a velocidade inicial é zero, a condição nos dá que .
Passo 7
Assim, a solução para cada modo fica:
A solução geral é a soma de todos os modos:
Passo 8
Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial . Isso nos dá:
Como é uma função definida por partes, calculamos os coeficientes usando a fórmula de Fourier:
Passo 9
Substituindo a função no intervalo onde ela vale 1, que é de a , e 0 fora, temos:
Resolvendo essa integral, obtemos:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, substituímos de volta na série. A solução completa fica:
Resposta
A solução do problema é dada pela série:
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(14.3) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, L / 2-12) \ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.$