Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial . Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.3) á

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento com as extremidades fixas. A corda é puxada a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dada pela função . O objetivo é encontrar a solução para o movimento dessa corda usando o método de separação de variáveis, considerando a função específica que descreve a velocidade inicial.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecer a equação da onda, que descreve o movimento da corda.
  • Utilizar o método de separação de variáveis para separar a equação em partes que dependem apenas de e .
  • Aplicar séries de Fourier para expandir a função de velocidade inicial em termos das funções próprias da corda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da onda para uma corda com extremidades fixas:
Aqui, representa o deslocamento da corda no ponto e no tempo , e é a velocidade da onda na corda.
Como as extremidades estão fixas, temos as condições de contorno:

Passo 3

Vamos aplicar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Substituindo isso na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Temos duas equações ordinárias resultantes:
  1. Para :
  1. Para :
As soluções dessas equações, considerando as condições de contorno , são funções senoidais:

Passo 5

A solução geral da equação da onda é uma soma infinita das soluções particulares para cada modo :
Agora, precisamos determinar os coeficientes e usando as condições iniciais.

Passo 6

Dado que a corda é inicialmente na posição de equilíbrio, temos:
Substituindo na solução geral:
Isso implica que para todos os .
Agora, considerando a velocidade inicial:

Passo 7

Para encontrar os coeficientes , multiplicamos ambos os lados por e integramos de a :
Usando a ortogonalidade das funções seno:
Então, temos:

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes para a função dada:
á
Portanto, a integral para se reduz a:

Passo 9

Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites de integração:

Passo 10

Utilizando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na expressão acima:

Passo 11

Substituindo de volta em :

Passo 12

Finalmente, substituindo na solução geral:

Resposta

A solução para o movimento da corda é dada por:

Exercícios relacionados

Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento sem nenhuma velocidade inicial a partir de uma posição inicial . Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(13.3) á
Resolva o problema usando o método de separação de variáveis para a corda finita com