Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.3)
(14.3)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento
com as extremidades fixas. A corda é puxada a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dada pela função
. O objetivo é encontrar a solução para o movimento dessa corda usando o método de separação de variáveis, considerando a função específica
que descreve a velocidade inicial.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Conhecer a equação da onda, que descreve o movimento da corda.
- Utilizar o método de separação de variáveis para separar a equação em partes que dependem apenas de
e . - Aplicar séries de Fourier para expandir a função de velocidade inicial
em termos das funções próprias da corda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da onda para uma corda com extremidades fixas:
Aqui,
representa o deslocamento da corda no ponto
e no tempo
, e
é a velocidade da onda na corda.
Como as extremidades estão fixas, temos as condições de contorno:
Passo 3
Vamos aplicar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Substituindo isso na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 4
Temos duas equações ordinárias resultantes:
- Para
:
- Para
:
As soluções dessas equações, considerando as condições de contorno
, são funções senoidais:
Passo 5
A solução geral da equação da onda é uma soma infinita das soluções particulares para cada modo
:
Agora, precisamos determinar os coeficientes
e
usando as condições iniciais.
Passo 6
Dado que a corda é inicialmente na posição de equilíbrio, temos:
Substituindo
na solução geral:
Isso implica que
para todos os
.
Agora, considerando a velocidade inicial:
Passo 7
Para encontrar os coeficientes
, multiplicamos ambos os lados por
e integramos de
a
:
Usando a ortogonalidade das funções seno:
Então, temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular os coeficientes
para a função
dada:
Portanto, a integral para
se reduz a:
Passo 9
Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites de integração:
Passo 10
Utilizando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na expressão acima:
Passo 11
Substituindo de volta em
:
Passo 12
Finalmente, substituindo
na solução geral:
Resposta
A solução para o movimento da corda é dada por:
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Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento sem nenhuma velocidade inicial a partir de uma posição inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(13.3)
(13.3)
Resolva o problema
usando o método de separação de variáveis para a corda finita com