Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial exata
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar encontrar uma função potencial que satisfaça as condições da equação exata.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da equação:
Uma equação diferencial da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata calculando as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, encontramos a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando as duas expressões:
Integrando
em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Para resolver a equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.