Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas: (2 x^3 + 3 y) dx + (3 x + y - 1) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial exata . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar encontrar uma função potencial que satisfaça as condições da equação exata.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da equação:
Uma equação diferencial da forma é exata se existir uma função tal que:

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata calculando as derivadas parciais cruzadas:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, encontramos a função potencial . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando as duas expressões:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
Para resolver a equação diferencial, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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