Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz. y' - y = 2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo . Isso pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a achar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Ela está na forma padrão , onde e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada em toda a equação, facilita a resolução.

Passo 3

O fator integrante é dado por . Vamos calcular isso:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para simplificar a resolução.

Passo 4

Multiplicando a equação original pelo fator integrante e^-x, temos:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto , ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x para encontrar y.

Passo 6

Integrando:
O lado esquerdo simplifica para e o lado direito é , onde C é a constante de integração:

Passo 7

Agora, isolamos y multiplicando ambos os lados por e^x:
Então, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante arbitrária.

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