Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
. Isso pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a achar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Ela está na forma padrão
, onde
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada em toda a equação, facilita a resolução.
Passo 3
O fator integrante é dado por
. Vamos calcular isso:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para simplificar a resolução.
Passo 4
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
, temos:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
, ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
.
Passo 6
Integrando:
O lado esquerdo simplifica para
e o lado direito é
, onde
é a constante de integração:
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre a solução do problema da condução do calor para
, condições de fronteira
e
, e condição inicial
.
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento sem nenhuma velocidade inicial a partir de uma posição inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(13.3)
(13.3)
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.