Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz. x y' + 2 y = x^2 - x + 1, y(1) = 1/2, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial juntos! A gente tem a equação:
com a condição inicial e . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo toda a equação original por , temos:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é calculado pela fórmula:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar :
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, substituímos na solução geral:
Vamos verificar se essa solução satisfaz a equação original. Basta substituir e na equação e confirmar se ambos os lados são iguais. Depois de fazer as substituições e simplificações, você verá que a igualdade se mantém verdadeira.

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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