Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial juntos! A gente tem a equação:
com a condição inicial
e
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo toda a equação original por
, temos:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é calculado pela fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, substituímos
na solução geral:
Vamos verificar se essa solução satisfaz a equação original. Basta substituir
e
na equação e confirmar se ambos os lados são iguais. Depois de fazer as substituições e simplificações, você verá que a igualdade se mantém verdadeira.
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Responda aos itens abaixo:
(14.2) Calcule o valor de onde
é dada por
, com
(14.2) Calcule o valor de
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.2)
(10.2)
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.