Determine se a solução em série de potências em torno do ponto x = a, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
2 y'' - 5 y' + 3 y = 0, a = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial e queremos saber se dá para resolver essa equação usando uma série de potências centrada em . Para isso, vamos precisar entender como funcionam as séries de potências e aplicá-las em equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessa série, que vamos precisar para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo as séries, temos:

Passo 5

Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas fiquem em termos de . Isso significa mudar as variáveis de soma:
  • Na primeira soma, deixamos , então .
  • Na segunda soma, deixamos , então .
Depois disso, reescrevemos as somas:

Passo 6

Agora que todas as somas estão com , podemos combinar os termos:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo , cada coeficiente de deve ser igual a zero:

Passo 7

Vamos resolver essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes :
Isso nos permite expressar cada em termos de e . Para determinar todos os coeficientes, precisamos de condições iniciais, geralmente dadas por e , que determinam e .

Passo 8

Finalmente, para saber onde a série converge, analisamos o raio de convergência. Como estamos tratando de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, as soluções em série geralmente têm intervalo de convergência em todo o domínio real. Portanto, a série de potências converge para todo real.

Resposta

Sim, existe uma solução em série de potências centrada em para a equação diferencial dada, e essa série converge para todos os valores de , ou seja, para qualquer real.

Exercícios relacionados

Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.2) F(x, y, z) = (x, y, 3)
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz. x y' + 2 y = x^2 - x + 1, y(1) = 1/2, x > 0
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas: (y^2 + 3) dx + (2yx - 4) dy = 0
Seja um campo de forças dado por F(x, y, z) = (3 x^2 y z + e^z, x^3 z, x^3 y + x e^z + 3 z^2).
(15.1) F é um campo conservativo? Por que?