Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
e queremos saber se dá para resolver essa equação usando uma série de potências centrada em
. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as séries de potências e aplicá-las em equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas dessa série, que vamos precisar para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as séries, temos:
Passo 5
Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas fiquem em termos de
. Isso significa mudar as variáveis de soma:
- Na primeira soma, deixamos
, então . - Na segunda soma, deixamos
, então .
Depois disso, reescrevemos as somas:
Passo 6
Agora que todas as somas estão com
, podemos combinar os termos:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero:
Passo 7
Vamos resolver essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes
:
Isso nos permite expressar cada
em termos de
e
. Para determinar todos os coeficientes, precisamos de condições iniciais, geralmente dadas por
e
, que determinam
e
.
Passo 8
Finalmente, para saber onde a série converge, analisamos o raio de convergência. Como estamos tratando de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, as soluções em série geralmente têm intervalo de convergência em todo o domínio real. Portanto, a série de potências converge para todo
real.
Resposta
Sim, existe uma solução em série de potências centrada em
para a equação diferencial dada, e essa série converge para todos os valores de
, ou seja, para qualquer
real.
Exercícios relacionados
Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.2)
(10.2)
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas:
Seja um campo de forças dado por
.
(15.1) é um campo conservativo? Por que?
(15.1)