Responda aos itens abaixo:
(14.2) Calcule o valor de I onde r é dada por r(t) = (t^2 - 1, t^2 + 1), com 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor de onde a curva é dada por no intervalo . Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo de integrais ao longo de uma curva, especificamente uma integral de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva . Ela está definida como . Isso significa que as coordenadas e em função de são:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . Isso nos dará os componentes e :

Passo 4

A integral de linha ao longo da curva pode ser calculada usando a fórmula:
Onde é a norma do vetor derivada, que representa o comprimento do segmento infinitesimal da curva.

Passo 5

Vamos calcular a norma de :

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da integral:

Passo 7

Vamos calcular a integral:

Resposta

O valor de é .

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