Responda aos itens abaixo:
(14.2) Calcule o valor de I onde r é dada por r(t) = (t^2 - 1, t^2 + 1), com 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor de onde a curva é dada por no intervalo . Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo de integrais ao longo de uma curva, especificamente uma integral de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva . Ela está definida como . Isso significa que as coordenadas e em função de são:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . Isso nos dará os componentes e :

Passo 4

A integral de linha ao longo da curva pode ser calculada usando a fórmula:
Onde é a norma do vetor derivada, que representa o comprimento do segmento infinitesimal da curva.

Passo 5

Vamos calcular a norma de :

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da integral:

Passo 7

Vamos calcular a integral:

Resposta

O valor de é .

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Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
x^2 y'' + x y' - y = 0, a = 2
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz. y' + (2 / x) y = (sen x / x), x > 0
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz. x y' + 2 y = x^2 - x + 1, y(1) = 1/2, x > 0
Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.2) F(x, y, z) = (x, y, 3)