Responda aos itens abaixo:
(14.2) Calcule o valor de
onde
é dada por
, com
(14.2) Calcule o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor de
onde a curva
é dada por
no intervalo
. Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo de integrais ao longo de uma curva, especificamente uma integral de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva
. Ela está definida como
. Isso significa que as coordenadas
e
em função de
são:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso nos dará os componentes
e
:
Passo 4
A integral de linha
ao longo da curva
pode ser calculada usando a fórmula:
Onde
é a norma do vetor derivada, que representa o comprimento do segmento infinitesimal da curva.
Passo 5
Vamos calcular a norma de
:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula da integral:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.2)
(10.2)