Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando uma série em torno do ponto
. Isso significa que vamos procurar uma solução em forma de série de potências centrada em
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
. Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Simplificamos cada termo multiplicando os polinômios:
- Para o primeiro termo
, substituímos e expandimos:
Expandir isso resulta em termos com potências de
.
- Fazemos o mesmo para
:
- O terceiro termo já está pronto.
Passo 6
Após expandir e reorganizar todos os termos, agrupamos os coeficientes de cada potência de
para igualar a zero. Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 7
Resolvemos a relação de recorrência para achar os coeficientes
. Geralmente, isso envolve encontrar uma expressão para
em termos de
,
, etc.
Passo 8
Com os coeficientes determinados, substituímos de volta na série inicial para obter a solução em série.
Resposta
A solução em série da equação diferencial
em torno de
é dada por:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência obtida durante a resolução. A série converge para valores de
próximos a 2, dentro de um intervalo onde a série é válida. Se for possível, a soma da série pode ser expressa em forma fechada, mas isso depende da natureza específica dos coeficientes
.
Exercícios relacionados
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Responda aos itens abaixo:
(14.2) Calcule o valor de onde
é dada por
, com
(14.2) Calcule o valor de
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.