Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
x^2 y'' + x y' - y = 0, a = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando uma série em torno do ponto . Isso significa que vamos procurar uma solução em forma de série de potências centrada em . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de . Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Simplificamos cada termo multiplicando os polinômios:
  1. Para o primeiro termo , substituímos e expandimos:
Expandir isso resulta em termos com potências de .
  1. Fazemos o mesmo para :
  1. O terceiro termo já está pronto.

Passo 6

Após expandir e reorganizar todos os termos, agrupamos os coeficientes de cada potência de para igualar a zero. Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 7

Resolvemos a relação de recorrência para achar os coeficientes . Geralmente, isso envolve encontrar uma expressão para em termos de , , etc.

Passo 8

Com os coeficientes determinados, substituímos de volta na série inicial para obter a solução em série.

Resposta

A solução em série da equação diferencial em torno de é dada por:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência obtida durante a resolução. A série converge para valores de próximos a 2, dentro de um intervalo onde a série é válida. Se for possível, a soma da série pode ser expressa em forma fechada, mas isso depende da natureza específica dos coeficientes .

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Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
x y'' + y' = 0, y(1) = 2, y'(1) = 3
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