Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.2)
(10.2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar a função potencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial usando cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, ou seja, existe uma função
tal que:
Outra forma de saber se um campo é conservativo é verificar se o rotacional (curl) do campo é zero. Se
, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo
é dado por:
No nosso caso,
,
e
. Então:
Portanto:
Como o rotacional de
é zero, o campo é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Primeiro, integramos em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Agora, usamos a segunda equação
:
Integrando em relação a
:
Agora, a nossa função
fica:
Por fim, usamos a terceira equação
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo. A função potencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Responda aos itens abaixo:
(14.2) Calcule o valor de onde
é dada por
, com
(14.2) Calcule o valor de
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas: