Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.2) F(x, y, z) = (x, y, 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar a função potencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial usando cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, ou seja, existe uma função tal que:
Outra forma de saber se um campo é conservativo é verificar se o rotacional (curl) do campo é zero. Se , então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo é dado por:
No nosso caso, , e . Então:
Portanto:
Como o rotacional de é zero, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .
Agora, usamos a segunda equação :
Integrando em relação a :
Agora, a nossa função fica:
Por fim, usamos a terceira equação :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Resposta

Sim, o campo é conservativo. A função potencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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