Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas equações paramétricas:
E nos pede para calcular , e no ponto onde . Depois, precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas e a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A derivada de em relação a é:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular . A derivada de em relação a é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, para encontrar , usamos a regra da cadeia:
Já calculamos e no passo anterior, então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a . Primeiro, vamos encontrar as coordenadas desse ponto substituindo nas equações originais:
Então, o ponto é . Sabemos que a inclinação da reta tangente é .
A equação da reta tangente na forma ponto-inclinação é:
Substituindo e :

Resposta

A reta tangente à curva no ponto correspondente a é .

Exercícios relacionados

Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(f)
Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(b) .
Classifique as seguintes equações diferenciais segundo a ordem e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável independente.
(1)
Classifique as seguintes equações diferenciais segundo a ordem e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável independente.
(2)