Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas equações paramétricas:
E nos pede para calcular , e no ponto onde . Depois, precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas e a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . A derivada de em relação a é:
Substituindo :
Passo 3
Agora, vamos calcular . A derivada de em relação a é:
Substituindo :
Passo 4
Agora, para encontrar , usamos a regra da cadeia:
Já calculamos e no passo anterior, então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a . Primeiro, vamos encontrar as coordenadas desse ponto substituindo nas equações originais:
Então, o ponto é . Sabemos que a inclinação da reta tangente é .
A equação da reta tangente na forma ponto-inclinação é:
Substituindo e :
Resposta
A reta tangente à curva no ponto correspondente a é .