Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(f) x = 2 sec(t), y = 3 tg(t)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro e encontrar uma equação que relacione diretamente e . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que conectam e .

Passo 2

Primeiro, lembremos da identidade trigonométrica fundamental:
Essa relação vai nos ajudar a eliminar o parâmetro das nossas equações.

Passo 3

Vamos expressar e em termos de e :

Passo 4

Substituímos essas expressões na identidade trigonométrica que mencionamos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação:
Para eliminar os denominadores, multiplicamos todos os termos por 36 (que é o mínimo múltiplo comum de 4 e 9):
Isso simplifica para:

Passo 6

Finalmente, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão:

Resposta

A equação cartesiana que representa a curva é:

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