Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(f)
(f)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e encontrar uma equação que relacione diretamente
e
. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que conectam
e
.
Passo 2
Primeiro, lembremos da identidade trigonométrica fundamental:
Essa relação vai nos ajudar a eliminar o parâmetro
das nossas equações.
Passo 3
Vamos expressar
e
em termos de
e
:
Passo 4
Substituímos essas expressões na identidade trigonométrica que mencionamos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação:
Para eliminar os denominadores, multiplicamos todos os termos por 36 (que é o mínimo múltiplo comum de 4 e 9):
Isso simplifica para:
Passo 6
Finalmente, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão:
Resposta
A equação cartesiana que representa a curva é: