Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(f)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro e encontrar uma equação que relacione diretamente e . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que conectam e .

Passo 2

Primeiro, lembremos da identidade trigonométrica fundamental:
Essa relação vai nos ajudar a eliminar o parâmetro das nossas equações.

Passo 3

Vamos expressar e em termos de e :

Passo 4

Substituímos essas expressões na identidade trigonométrica que mencionamos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação:
Para eliminar os denominadores, multiplicamos todos os termos por 36 (que é o mínimo múltiplo comum de 4 e 9):
Isso simplifica para:

Passo 6

Finalmente, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão:

Resposta

A equação cartesiana que representa a curva é:

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(b) .
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(d) .
Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(a) .
Classifique as seguintes equações diferenciais segundo a ordem e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável independente.
(1)