Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas , e para as equações paramétricas dadas:
Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A função pode ser escrita como . Usando a regra do poder para derivadas, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular . A função é uma combinação de potências de . Derivando termo a termo:

Passo 4

Com e em mãos, podemos encontrar usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos avaliar todas essas derivadas no ponto :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as coordenadas do ponto correspondente a :
Então, o ponto é .

Passo 7

Sabemos que a equação da reta tangente tem a forma:
Onde é a inclinação da reta, que é no ponto dado. Substituindo os valores:
Expandindo:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a é:

Exercícios relacionados

Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(d) .
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( e são constantes).
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(f)
Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(a) .