Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas , e para as equações paramétricas dadas:
Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . A função pode ser escrita como . Usando a regra do poder para derivadas, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular . A função é uma combinação de potências de . Derivando termo a termo:
Passo 4
Com e em mãos, podemos encontrar usando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos avaliar todas essas derivadas no ponto :
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as coordenadas do ponto correspondente a :
Então, o ponto é .
Passo 7
Sabemos que a equação da reta tangente tem a forma:
Onde é a inclinação da reta, que é no ponto dado. Substituindo os valores:
Expandindo:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a é: