Em cada item, calcule dx/dt, dy/dt e d y / d x. Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de t0 fornecido.
© x = t^4 + 1, y = t^3 + t, t0 = -1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações paramétricas que descrevem uma curva:
O objetivo é calcular as derivadas , e . Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e tangentes em curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar . Isso significa derivar a função em relação a :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Derivando em relação a :
Portanto, .

Passo 4

Para achar , usamos a regra da cadeia para derivadas paramétricas, que é :

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores das derivadas no ponto onde .
Calculando em :
Calculando em :
Calculando em :

Passo 6

Agora, precisamos achar as coordenadas do ponto na curva correspondente a .
Calculando em :
Calculando em :
Então, o ponto é .

Passo 7

Com a derivada e o ponto , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Onde e . Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a é:

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