Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações paramétricas que descrevem uma curva:
O objetivo é calcular as derivadas , e . Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e tangentes em curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar . Isso significa derivar a função em relação a :
Então, .
Passo 3
Agora, vamos calcular . Derivando em relação a :
Portanto, .
Passo 4
Para achar , usamos a regra da cadeia para derivadas paramétricas, que é :
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores das derivadas no ponto onde .
Calculando em :
Calculando em :
Calculando em :
Passo 6
Agora, precisamos achar as coordenadas do ponto na curva correspondente a .
Calculando em :
Calculando em :
Então, o ponto é .
Passo 7
Com a derivada e o ponto , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Onde e . Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a é: