Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar se a série
converge absolutamente ou diverge. Então, vamos precisar entender esses dois testes e aplicar um deles para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que são esses testes:
Teste da Razão: A gente calcula o limite . Se , a série converge absolutamente; se , diverge; se , o teste não serve.
Teste da Raiz: Calculamos . As conclusões são as mesmas do teste da razão.
Vamos escolher qual desses usar. Olhando para a série, como o denominador é uma potência de 10, o teste da razão pode ser mais direto. Mas o teste da raiz também é bem aplicável aqui. Vamos usar o teste da raiz para praticar ambos!
Passo 3
Vamos aplicar o teste da raiz. Primeiro, identificamos .
Agora, calculamos:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada parte:
oscila entre e , então oscila entre e .
A raiz para qualquer número positivo próximo de 1 tende a 1 quando cresce.
Portanto:
Passo 5
Agora, aplicando o resultado no teste da raiz:
Como , concluímos que a série converge absolutamente.