Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(k) sumn=1^infty 1+sen(n)10^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar se a série
sumn=1^infty 1 + sen(n)10^n
converge absolutamente ou diverge. Então, vamos precisar entender esses dois testes e aplicar um deles para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que são esses testes:
  • Teste da Razão: A gente calcula o limite . Se , a série converge absolutamente; se , diverge; se , o teste não serve.
  • Teste da Raiz: Calculamos . As conclusões são as mesmas do teste da razão.
Vamos escolher qual desses usar. Olhando para a série, como o denominador é uma potência de 10, o teste da razão pode ser mais direto. Mas o teste da raiz também é bem aplicável aqui. Vamos usar o teste da raiz para praticar ambos!

Passo 3

Vamos aplicar o teste da raiz. Primeiro, identificamos L = limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty raiz[n]| 1 + sen(n)10^n | .
Agora, calculamos:
raiz[n]|an| = raiz[n]|1 + sen(n)|raiz[n]10^n = raiz[n]|1 + sen(n)|10
Simplificando dentro da raiz:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada parte:
  • limn to infty raiz[n]|1 + sen(n)|10 = 110 = 0,1 oscila entre e , então oscila entre e .
  • A raiz para qualquer número positivo próximo de 1 tende a 1 quando cresce.
Portanto:

Passo 5

Agora, aplicando o resultado no teste da raiz:
L = 0,1
Como , concluímos que a série converge absolutamente.

Resposta

A série
sumn=1^infty 1 + sen(n)10^n
converge absolutamente.

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