Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(i) sumn=1^infty n+1n raizn

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita e precisamos descobrir se ela converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar um dos testes de convergência, o teste da razão ou o teste da raiz. Esses testes ajudam a determinar o comportamento da série quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar o cálculo. A expressão n+1n raizn = nn raizn + 1n raizn = 1raizn + 1n^3/2 pode ser simplificada dividindo cada parte do numerador pelo denominador:
sumn=1^infty ( 1raizn + 1n^3/2 )
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da razão, que é útil para séries com termos envolvendo potências de . O teste da razão diz que se :
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = (n+1)+1(n+1) raizn+1n+1n raizn = (n+2)n raizn(n+1)^2 raizn+1 para o nosso termo geral an+1an = n(n+2)(n+1)^2 cdot raiznraizn+1 :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos tirar o limite quando L = limn to infty n(n+2)(n+1)^2 cdot raiznraizn+1 vai para o infinito:
L = 1 times 1 = 1
Simplificando cada parte:
Então:

Passo 6

Como o limite , o teste da razão não nos deu uma resposta definitiva. Então, vamos tentar o teste da raiz, que também é útil para séries com potências de .

Passo 7

O teste da raiz diz que se raiz[n]n+1n raizn = raiz[n]n+1n^3/2 = raiz[n]n+1n^3/2 :
  • Se raiz[n]n+1n^3/2 = ( n+1n^3/2 )^1/n , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular para :
Simplificando:

Passo 8

Vamos calcular o limite:
L = limn to infty ( n+1n^3/2 )^1/n
Podemos reescrever:
L = limn to infty ( nn^3/2 cdot (1 + 1n) )^1/n = limn to infty ( 1raizn cdot (1 + 1n) )^1/n
Sabemos que L = limn to infty ( 0 cdot 1 )^1/n = limn to infty 0^1/n = 1 e . Portanto:

Passo 9

De novo, o limite , então o teste da raiz também é inconclusivo. Isso significa que precisamos tentar outro método para determinar a convergência ou divergência da série.

Passo 10

Vamos comparar a série com uma série p conhecida. Observando o termo geral original:
an = n+1n raizn = 1raizn + 1n^3/2
Sabemos que a série converge se e diverge se . Aqui, temos dois termos:
  • , que diverge porque .
  • , que converge porque .
No entanto, como a parte que diverge domina, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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