Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(o) sumn=1^infty 2^n^2n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o teste da razão ou o teste da raiz para descobrir se a série converge absolutamente ou diverge. Esses testes são ferramentas na matemática que ajudam a analisar o comportamento das séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual teste aplicar. Olhando para a série , percebemos que cresce muito rápido, enquanto também cresce rapidamente, mas de uma forma diferente. O teste da razão é uma boa opção aqui.

Passo 3

O teste da razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série quando L = limn to infty | an+1an | tende ao infinito. A fórmula é:
Se , a série converge absolutamente. Se , ela diverge. E se , o teste não dá resposta.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, an+1 = 2^(n+1)^2(n+1)! , então:
an+1an = 2^(n+1)^2(n+1)! cdot n!2^n^2 = 2^(n+1)^2 - n^2n+1
Agora, vamos calcular a razão:
(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1
Simplificando o expoente:
an+1an = 2^2n + 1n+1
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 2^2n + 1n+1 tende ao infinito:
Sabemos que cresce de forma exponencial, enquanto cresce linearmente. Portanto, o limite tende ao infinito, ou seja, .

Passo 6

Como , pelo teste da razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão.

Exercícios relacionados