Em cada item, calcule a área pedida.
(e) Da parte do paraboloide que está dentro do cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da parte do paraboloide que está dentro do cilindro . Para resolver isso, vamos usar cálculo de áreas de superfícies, especificamente integrais duplas e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o paraboloide dado é e o cilindro é definido por . A área que queremos encontrar está dentro desse cilindro, ou seja, quando .

Passo 3

A fórmula para calcular a área de uma superfície definida por é:
Aqui, é a região onde vamos integrar, que no nosso caso é o interior do cilindro .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Substituindo na fórmula da área:

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessa mudança, e . Então, a integral fica:
Aqui, porque implica .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazemos a substituição , então ou . A integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:

Resposta

A área pedida é .

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Em cada item, calcule a área pedida.
(d) Da superfície de uma esfera de raio .
Vimos que a integral mede o comprimento da curva . Qual é o significado da integral ? Sugestão. Resolva a integral em um exemplo e depois tente resolvê-la de forma genérica.
Em cada item, calcule a o volume pedido.
(a) Da região interna a uma esfera de raio .
Em cada item, calcule a o volume pedido.
(g) Da região interna à esfera e acima do cone .