Em cada item, calcule a área pedida.
(e) Da parte do paraboloide que está dentro do cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da parte do paraboloide que está dentro do cilindro . Para resolver isso, vamos usar cálculo de áreas de superfícies, especificamente integrais duplas e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o paraboloide dado é e o cilindro é definido por . A área que queremos encontrar está dentro desse cilindro, ou seja, quando .
Passo 3
A fórmula para calcular a área de uma superfície definida por é:
Aqui, é a região onde vamos integrar, que no nosso caso é o interior do cilindro .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessa mudança, e . Então, a integral fica:
Aqui, porque implica .
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazemos a substituição , então ou . A integral fica: