Vimos que a integral mede o comprimento da curva . Qual é o significado da integral ? Sugestão. Resolva a integral em um exemplo e depois tente resolvê-la de forma genérica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas integrais ao longo de uma curva :
  1. : Essa integral mede o comprimento da curva .
  2. : Agora, a questão é entender o que essa integral vetorial representa.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais de linha vetoriais. Vamos resolver um exemplo prático e depois generalizar.

Passo 2

Vamos escolher uma curva simples para facilitar: uma reta no plano que vai do ponto ao ponto . Essa curva é uma linha reta.

Passo 3

Primeiro, parametrizamos a curva. Como é uma reta, podemos usar um parâmetro que vai de 0 a 1:
Onde varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular . Derivando em relação a :

Passo 5

Vamos calcular a integral :

Passo 6

No nosso exemplo, a integral vetorial resultou no vetor , que é basicamente o vetor deslocamento do ponto inicial para o ponto final .

Passo 7

Agora, de forma geral, para qualquer curva , a integral representa o vetor deslocamento total ao longo da curva, ou seja:
Onde e são os vetores posição nos pontos inicial e final da curva , respectivamente.

Resposta

Então, a integral dá o vetor deslocamento total desde o início até o fim da curva .

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(e) Da curva .
Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(d) Da curva .
Em cada item, calcule a área pedida.
(d) Da superfície de uma esfera de raio .
Em cada item, calcule a área pedida.
(e) Da parte do paraboloide que está dentro do cilindro .