Vimos que a integral
mede o comprimento da curva
. Qual é o significado da integral
? Sugestão. Resolva a integral em um exemplo e depois tente resolvê-la de forma genérica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas integrais ao longo de uma curva
:
-
: Essa integral mede o comprimento da curva . -
: Agora, a questão é entender o que essa integral vetorial representa.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais de linha vetoriais. Vamos resolver um exemplo prático e depois generalizar.
Passo 2
Vamos escolher uma curva simples para facilitar: uma reta no plano
que vai do ponto
ao ponto
. Essa curva
é uma linha reta.
Passo 3
Primeiro, parametrizamos a curva. Como é uma reta, podemos usar um parâmetro
que vai de 0 a 1:
Onde
varia de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Derivando
em relação a
:
Passo 5
Vamos calcular a integral
:
Passo 6
No nosso exemplo, a integral vetorial
resultou no vetor
, que é basicamente o vetor deslocamento do ponto inicial
para o ponto final
.
Passo 7
Agora, de forma geral, para qualquer curva
, a integral
representa o vetor deslocamento total ao longo da curva, ou seja:
Onde
e
são os vetores posição nos pontos inicial e final da curva
, respectivamente.
Resposta
Então, a integral
dá o vetor deslocamento total desde o início até o fim da curva
.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(e) Da curva .
(e) Da curva
Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(d) Da curva .
(d) Da curva
Em cada item, calcule a área pedida.
(d) Da superfície de uma esfera de raio .
(d) Da superfície de uma esfera de raio
Em cada item, calcule a área pedida.
(e) Da parte do paraboloide que está dentro do cilindro
.
(e) Da parte do paraboloide