Em cada item, calcule a o volume pedido.
(g) Da região interna à esfera e acima do cone .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume da região que está dentro da esfera e acima do cone . Estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente usando coordenadas esféricas para facilitar os cálculos. Vamos precisar entender como transformar as equações para essas coordenadas e configurar uma integral tripla para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as formas das superfícies:
  • Esfera: A equação representa uma esfera com raio , já que .
  • Cone: A equação descreve um cone com ângulo de 45 graus em relação ao eixo z.

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas , onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo no plano xy,
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
Nas coordenadas esféricas, as equações ficam:
  • Esfera: ,
  • Cone: ou radianos.

Passo 4

O próximo passo é configurar a integral tripla para calcular o volume. A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Precisamos definir os limites de integração para cada variável:
  • varia de a (raio da esfera),
  • varia de a (do eixo z até o cone),
  • varia de a (círculo completo ao redor do eixo z).

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 7

Por último, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, multiplicamos todos os resultados para obter o volume total:

Resposta

O volume da região interna à esfera e acima do cone é .

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule a o volume pedido.
(a) Da região interna a uma esfera de raio .
Em cada item, calcule a área pedida.
(e) Da parte do paraboloide que está dentro do cilindro .
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.