Em cada item, calcule a o volume pedido.
(g) Da região interna à esfera
e acima do cone
.
(g) Da região interna à esfera
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume da região que está dentro da esfera
e acima do cone
. Estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente usando coordenadas esféricas para facilitar os cálculos. Vamos precisar entender como transformar as equações para essas coordenadas e configurar uma integral tripla para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as formas das superfícies:
- Esfera: A equação
representa uma esfera com raio , já que . - Cone: A equação
descreve um cone com ângulo de 45 graus em relação ao eixo z.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo no plano xy, -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
Nas coordenadas esféricas, as equações ficam:
- Esfera:
, - Cone:
ou radianos.
Passo 4
O próximo passo é configurar a integral tripla para calcular o volume. A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Precisamos definir os limites de integração para cada variável:
-
varia de a (raio da esfera), -
varia de a (do eixo z até o cone), -
varia de a (círculo completo ao redor do eixo z).
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 7
Por último, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, multiplicamos todos os resultados para obter o volume total:
Resposta
O volume da região interna à esfera e acima do cone é
.
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Em cada item, calcule a o volume pedido.
(a) Da região interna a uma esfera de raio .
(a) Da região interna a uma esfera de raio
Em cada item, calcule a área pedida.
(e) Da parte do paraboloide que está dentro do cilindro
.
(e) Da parte do paraboloide
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.