Para cada item calcule f + g, f * g, f / g, f o g, g o f. f(x) = x / (1 + x^2) e g(x) = 1/x Resp: (f/g)(x) = x^2/(1+x^2), (f o g)(x) = x/(1+x^2) e (g o f)(x) = (1 + x^2) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos várias operações entre duas funções: soma ( ), multiplicação ( f * g), divisão ( f/g), e as composições ( f(g) e g(f)). As funções dadas são:
Para resolver isso, vamos precisar saber como somar, multiplicar, dividir funções e como fazer a composição de funções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Soma das funções ( ):
Quando somamos duas funções, simplesmente somamos as expressões delas. Então, vamos somar f(x) e g(x):
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum aqui é . Então, reescrevemos cada fração com esse denominador:

Passo 3

Multiplicação das funções ( f * g):
Para multiplicar duas funções, multiplicamos as expressões delas diretamente:
Aqui, o x no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 4

Divisão das funções ( f/g):
Dividir uma função pela outra significa multiplicar a primeira função pelo inverso da segunda. Então:

Passo 5

Composição das funções ( f(g)):
A composição f(g) significa que vamos primeiro aplicar g(x) e depois aplicar f ao resultado. Então:
Vamos simplificar o denominador:
Agora, substituímos de volta:

Passo 6

Composição das funções ( g(f)):
Agora, para g(f), primeiro aplicamos f(x) e depois aplicamos g ao resultado:
Simplificando a fração:

Resposta

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