Considere a função : pode ser negativo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função e descobrir se o pode ser negativo. Isso envolve entender um pouco de funções e como trabalhar com raízes quadradas e frações. Vamos precisar usar conceitos de domínio de funções e propriedades das raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida e dá um resultado real. No caso da nossa função, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Passo 3

Então, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja pelo menos zero:
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 4

Vamos isolar :
Para resolver isso, precisamos considerar que não pode ser zero, porque não podemos dividir por zero. Então, devemos analisar os casos em que é positivo e quando é negativo separadamente.

Passo 5

Primeiro, suponha que . Multiplicando ambos os lados da desigualdade por (positivo, então a desigualdade mantém o sinal):
Isso significa que, para , os valores de devem ser menores ou iguais a 1.

Passo 6

Agora, vamos considerar . Multiplicando ambos os lados da desigualdade por (negativo, então a desigualdade inverte o sentido):
Mas isso é impossível porque é negativo e não pode ser maior ou igual a 1. Portanto, não há soluções para .

Passo 7

Além disso, lembrando que o denominador não pode ser zero, já que isso tornaria a expressão indefinida. Portanto, excluímos do domínio.

Passo 8

Resumindo tudo isso, o domínio da função são os valores de que são positivos e menores ou iguais a 1.

Resposta

Não, não pode ser negativo para a função estar definida e dar um resultado real.

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Determine o domínio das seguintes funções: Resp: ou
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