Seja a função definida por: . Determine , esboce seu gráfico e determine sua imagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função chamada que muda a sua fórmula dependendo do valor de . Esse tipo de função é chamada de função por partes. O que precisamos fazer é:
  1. Calcular , e .
  2. Desenhar o gráfico dessa função.
  3. Determinar a imagem da função, ou seja, todos os valores que pode assumir.
Para resolver isso, vamos entender qual parte da função usar para cada valor de que queremos calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Como é menor ou igual a , usamos a primeira parte da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Aqui também é menor ou igual a , então seguimos usando a primeira parte:

Passo 4

Por fim, vamos calcular . Como é maior que , usamos a segunda parte da função:

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, consideramos duas partes:
  1. Para , a função é , que é uma reta decrescente.
  2. Para , a função é , que é uma parábola voltada para baixo.
No ponto , as duas partes se encontram.

Passo 6

Por fim, determinamos a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
  • Para , pode assumir valores de até (quando ).
  • Para , sempre será negativo e tende a conforme aumenta.
Então, a imagem da função é todos os números reais menores ou iguais a :

Resposta

  • A imagem de é

Gráfico

Gráfico da função f (Substitua pelo link do gráfico)

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Determine o valor de nas equações: