Seja
a função definida por:
. Determine
, esboce seu gráfico e determine sua imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função chamada
que muda a sua fórmula dependendo do valor de
. Esse tipo de função é chamada de função por partes. O que precisamos fazer é:
- Calcular
, e . - Desenhar o gráfico dessa função.
- Determinar a imagem da função, ou seja, todos os valores que
pode assumir.
Para resolver isso, vamos entender qual parte da função usar para cada valor de
que queremos calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Como
é menor ou igual a
, usamos a primeira parte da função:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Aqui
também é menor ou igual a
, então seguimos usando a primeira parte:
Passo 4
Por fim, vamos calcular
. Como
é maior que
, usamos a segunda parte da função:
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, consideramos duas partes:
- Para
, a função é , que é uma reta decrescente. - Para
, a função é , que é uma parábola voltada para baixo.
No ponto
, as duas partes se encontram.
Passo 6
Por fim, determinamos a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
- Para
, pode assumir valores de até (quando ). - Para
, sempre será negativo e tende a conforme aumenta.
Então, a imagem da função é todos os números reais menores ou iguais a
:
Resposta
-
-
-
- A imagem de
é
Gráfico
![Gráfico da função f](https://i.imgur.com/yourgraphlink.png)
Exercícios relacionados
Considere a função
:
pode ser negativo?
Determine o domínio das seguintes funções:
Resp:
ou
Para cada item calcule
.
e
Resp:
e
Determine o valor de
nas equações: