Estudos demográficos em um certo país estimaram que a sua população (em milhões de habitantes) daqui a anos será: . Daqui a quantos anos a população dobrará? Resposta: 14,2 anos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a população de um país daqui a anos será dada pela fórmula . Nosso objetivo é descobrir em quantos anos a população vai dobrar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de crescimento exponencial e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a população dobrar. Atualmente, a população é de 40 milhões. Se ela dobrar, passaríamos a ter 80 milhões. Então, queremos encontrar o valor de que faz com que .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 40:

Passo 4

Temos agora . Para resolver essa equação para , usamos logaritmos. Lembrando que significa que . Então, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:

Passo 5

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Vamos calcular isso usando uma calculadora:

Resposta

A população dobrará em aproximadamente 14,2 anos.

Exercícios relacionados

Determine o valor de nas equações:
Para cada item calcule . e Resp: e
Supondo que o número de bactérias de uma certa cultura seja dado por: , onde é o tempo decorrido de observação da cultura de bactérias, dado em horas e . Determine: O número de bactérias presentes após 6 horas.
Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp: -13