Estudos demográficos em um certo país estimaram que a sua população (em milhões de habitantes) daqui a t anos será: p = 40(1,05)^t. Daqui a quantos anos a população dobrará? Resposta: 14,2 anos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a população de um país daqui a t anos será dada pela fórmula p = 40(1,05)^t. Nosso objetivo é descobrir em quantos anos a população vai dobrar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de crescimento exponencial e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a população dobrar. Atualmente, a população é de 40 milhões. Se ela dobrar, passaríamos a ter 80 milhões. Então, queremos encontrar o valor de t que faz com que .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 40:

Passo 4

Temos agora . Para resolver essa equação para t, usamos logaritmos. Lembrando que significa que . Então, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:

Passo 5

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar:

Passo 6

Agora, isolamos t dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Vamos calcular isso usando uma calculadora:

Resposta

A população dobrará em aproximadamente 14,2 anos.

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