Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(e) Da curva y = x^2, z = (2 x^3) / 3, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o comprimento de uma curva definida por e no intervalo de de 0 a 1. Isso está relacionado ao estudo de cálculo, mais especificamente ao cálculo de comprimentos de curvas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de parametrização de curvas e de cálculo de comprimento usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva em termos de uma variável, que geralmente é . Aqui, parece que , então podemos escrever as funções paramétricas da curva como:
com variando de 0 a 1.

Passo 3

Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
Onde e são os limites do parâmetro , que aqui são 0 e 1.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de cada função em relação a :
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Notamos que isso pode ser escrito como:
Então, a integral fica:
Como a expressão dentro da raiz é sempre positiva no intervalo, podemos tirar a raiz perfeitamente.

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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