Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(e) Da curva
.
(e) Da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o comprimento de uma curva definida por
e
no intervalo de
de 0 a 1. Isso está relacionado ao estudo de cálculo, mais especificamente ao cálculo de comprimentos de curvas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de parametrização de curvas e de cálculo de comprimento usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva em termos de uma variável, que geralmente é
. Aqui, parece que
, então podemos escrever as funções paramétricas da curva como:
com
variando de 0 a 1.
Passo 3
Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
Onde
e
são os limites do parâmetro
, que aqui são 0 e 1.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de cada função em relação a
:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Notamos que isso pode ser escrito como:
Então, a integral fica:
Como a expressão dentro da raiz é sempre positiva no intervalo, podemos tirar a raiz perfeitamente.
Passo 6
Agora, resolvemos a integral:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(d) Da curva .
(d) Da curva
Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(a) Do intervalo .
(a) Do intervalo
Vimos que a integral
mede o comprimento da curva
. Qual é o significado da integral
? Sugestão. Resolva a integral em um exemplo e depois tente resolvê-la de forma genérica.
Em cada item, calcule a área pedida.
(d) Da superfície de uma esfera de raio .
(d) Da superfície de uma esfera de raio