Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(d) Da curva .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida pelas funções paramétricas , e , no intervalo de que vai de até . Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se tivermos uma curva definida por , e , o comprimento dessa curva de até é dado por:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Somando tudo:
Sabemos que , então:
Assim, a integral fica mais fácil:

Passo 5

Agora, basta calcular a integral:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(a) Do intervalo .
Depois da injeção de uma dose de insulina, a concentração de insulina no sistema do paciente decai exponencialmente e por isso pode ser escrito como , onde representa o tempo em horas e é uma constante positiva.
Determine o limite de concentração pré-injeção.
Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(e) Da curva .
Vimos que a integral mede o comprimento da curva . Qual é o significado da integral ? Sugestão. Resolva a integral em um exemplo e depois tente resolvê-la de forma genérica.