Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(d) Da curva
.
(d) Da curva
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida pelas funções paramétricas
,
e
, no intervalo de
que vai de
até
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se tivermos uma curva definida por
,
e
, o comprimento
dessa curva de
até
é dado por:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas de
,
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Somando tudo:
Sabemos que
, então:
Assim, a integral fica mais fácil:
Passo 5
Agora, basta calcular a integral:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(a) Do intervalo .
(a) Do intervalo
Depois da injeção de uma dose
de insulina, a concentração de insulina no sistema do paciente decai exponencialmente e por isso pode ser escrito como
, onde
representa o tempo em horas e
é uma constante positiva.
Determine o limite de concentração pré-injeção.
Determine o limite de concentração pré-injeção.
Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(e) Da curva .
(e) Da curva
Vimos que a integral
mede o comprimento da curva
. Qual é o significado da integral
? Sugestão. Resolva a integral em um exemplo e depois tente resolvê-la de forma genérica.