Em cada item, calcule o comprimento pedido.
(d) Da curva x(t) = 2 cos(t), y(t) = 2 sen(t), z(t) = raiz(5) t, -2 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida pelas funções paramétricas , e , no intervalo de que vai de até . Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se tivermos uma curva definida por , e , o comprimento dessa curva de até é dado por:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Somando tudo:
Sabemos que , então:
Assim, a integral fica mais fácil:

Passo 5

Agora, basta calcular a integral:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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