Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas , e para as funções paramétricas dadas, e depois encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções paramétricas e equações de retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Temos:
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que se e são funções de , então:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a :
A derivada de em relação a é . Então:
Passo 4
Para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções paramétricas, que diz:
Já temos e , então:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Primeiro, em :
Segundo, em :
Terceiro, em :
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o ponto na curva correspondente a . Vamos calcular e :
Então, o ponto é .
Passo 7
Agora, usamos a equação da reta tangente, que é dada por:
Onde:
é o ponto de tangência, que é
é o coeficiente angular da reta tangente, que é no ponto, ou seja,