Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas , e para as funções paramétricas dadas, e depois encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções paramétricas e equações de retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Temos:
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que se e são funções de , então:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções paramétricas, que diz:
Já temos e , então:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Primeiro, em :
Segundo, em :
Terceiro, em :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o ponto na curva correspondente a . Vamos calcular e :
Então, o ponto é .

Passo 7

Agora, usamos a equação da reta tangente, que é dada por:
Onde:
  • é o ponto de tangência, que é
  • é o coeficiente angular da reta tangente, que é no ponto, ou seja,
Substituindo esses valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(f) .
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(b) .
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(b) .
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(a) .