Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são equações paramétricas que definem uma curva no plano XY. Nosso objetivo é esboçar essa curva e indicar para qual direção o parâmetro está crescendo. Para isso, vamos precisar entender como transformar essas equações em pontos no plano e como a variação de afeta a posição desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas expressam as coordenadas e de pontos na curva em termos de um parâmetro . No nosso caso, temos:
Isso significa que, para cada valor de dentro do intervalo , a gente tem um ponto na curva.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos que correspondem aos extremos do intervalo de :
  • Quando :
    Então, o ponto inicial é .
  • Quando :
    Então, o ponto final é .

Passo 4

Agora, vamos entender como a curva se comporta entre esses dois pontos. Como as equações de e são lineares em , a curva que obtenhamos será uma reta. Além disso, como o coeficiente de em é 3 e em é 2, isso indica que à medida que aumenta, tanto quanto aumentam, mas aumenta mais rapidamente.
Para visualizar, imagine traçar uma linha reta ligando o ponto ao ponto . O sentido de crescimento de vai do valor menor para o maior, ou seja, do ponto para o ponto .

Resposta

A curva descrita pelas equações paramétricas é uma reta que vai do ponto para , com o parâmetro aumentando no sentido de para .

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(d) .
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(f) .
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(a) .
Reescreva esta expressão, utilizando:
(a) integração em relação a ;
(b) coordenadas paramétricas.