Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são equações paramétricas que definem uma curva no plano XY. Nosso objetivo é esboçar essa curva e indicar para qual direção o parâmetro
está crescendo. Para isso, vamos precisar entender como transformar essas equações em pontos no plano e como a variação de
afeta a posição desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas expressam as coordenadas
e
de pontos na curva em termos de um parâmetro
. No nosso caso, temos:
Isso significa que, para cada valor de
dentro do intervalo
, a gente tem um ponto
na curva.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos que correspondem aos extremos do intervalo de
:
-
Quando
: Então, o ponto inicial é. -
Quando
: Então, o ponto final é.
Passo 4
Agora, vamos entender como a curva se comporta entre esses dois pontos. Como as equações de
e
são lineares em
, a curva que obtenhamos será uma reta. Além disso, como o coeficiente de
em
é 3 e em
é 2, isso indica que à medida que
aumenta, tanto
quanto
aumentam, mas
aumenta mais rapidamente.
Para visualizar, imagine traçar uma linha reta ligando o ponto
ao ponto
. O sentido de crescimento de
vai do valor menor para o maior, ou seja, do ponto
para o ponto
.
Resposta
A curva descrita pelas equações paramétricas é uma reta que vai do ponto
para
, com o parâmetro
aumentando no sentido de
para
.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule
e
. Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de
fornecido.
(d) .
(d)
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(f) .
(f)
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(a) .
(a)
Reescreva esta expressão, utilizando:
(a) integração em relação a ;
(b) coordenadas paramétricas.
(a) integração em relação a
(b) coordenadas paramétricas.