Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação cartesiana de uma hipérbole:
O que queremos é encontrar as equações paramétricas que descrevem essa hipérbole. Basicamente, as equações paramétricas nos permitem expressar as coordenadas e em função de um parâmetro, geralmente chamado de . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre as hipérboles e como elas se parametrize.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que essa equação representa uma hipérbole com eixo transversal vertical, já que o termo de está positivo. A hipérbole padrão com esse formato está centrada no ponto .
As equações paramétricas para uma hipérbole com eixo vertical são geralmente expressas usando funções hiperbólicas, como o cosseno hiperbólico ( ) e o seno hiperbólico ( ). Essas funções são análogas às funções trigonométricas, mas são mais adequadas para descrever hipérboles.

Passo 3

Vamos definir o parâmetro como o parâmetro hiperbólico. Assim, podemos expressar e em termos de da seguinte maneira:
Aqui, e são as funções hiperbólicas que garantem que, para todo valor de , os pontos estarão sobre a hipérbole dada.

Passo 4

Vamos entender por que usamos essas funções. A função cosseno hiperbólico sempre dá valores maiores ou iguais a 1, o que está alinhado com o fato de que na hipérbole , o termo de está sempre positivo e garante que o lado esquerdo da equação seja sempre maior ou igual a 1.
A função seno hiperbólico pode assumir qualquer valor real, positivo ou negativo, o que corresponde ao comportamento da hipérbole nas duas direções do eixo horizontal.

Passo 5

Finalmente, adicionamos e para transladar a hipérbole do centro original para o novo centro . Isso significa que nossa hipérbole está agora centrada em , como indicado na equação original.

Resposta

As equações paramétricas associadas à hipérbole dada são:

Exercícios relacionados

Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(b) .
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(d)
Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(d) .
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(b) .