Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação cartesiana de uma hipérbole:
O que queremos é encontrar as equações paramétricas que descrevem essa hipérbole. Basicamente, as equações paramétricas nos permitem expressar as coordenadas
e
em função de um parâmetro, geralmente chamado de
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre as hipérboles e como elas se parametrize.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que essa equação representa uma hipérbole com eixo transversal vertical, já que o termo de
está positivo. A hipérbole padrão com esse formato está centrada no ponto
.
As equações paramétricas para uma hipérbole com eixo vertical são geralmente expressas usando funções hiperbólicas, como o cosseno hiperbólico (
) e o seno hiperbólico (
). Essas funções são análogas às funções trigonométricas, mas são mais adequadas para descrever hipérboles.
Passo 3
Vamos definir o parâmetro
como o parâmetro hiperbólico. Assim, podemos expressar
e
em termos de
da seguinte maneira:
Aqui,
e
são as funções hiperbólicas que garantem que, para todo valor de
, os pontos
estarão sobre a hipérbole dada.
Passo 4
Vamos entender por que usamos essas funções. A função cosseno hiperbólico
sempre dá valores maiores ou iguais a 1, o que está alinhado com o fato de que na hipérbole
, o termo de
está sempre positivo e garante que o lado esquerdo da equação seja sempre maior ou igual a 1.
A função seno hiperbólico
pode assumir qualquer valor real, positivo ou negativo, o que corresponde ao comportamento da hipérbole nas duas direções do eixo horizontal.
Passo 5
Finalmente, adicionamos
e
para transladar a hipérbole do centro original
para o novo centro
. Isso significa que nossa hipérbole está agora centrada em
, como indicado na equação original.
Resposta
As equações paramétricas associadas à hipérbole dada são:
Exercícios relacionados
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(b) .
(b)
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(d)
(d)
Em cada item, calcule
e
. Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de
fornecido.
(d) .
(d)
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(b) .
(b)