Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(d) .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a seguinte equação cartesiana de uma elipse:
Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas que correspondem a essa equação. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a parametrização de curvas utilizando funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse pode ser representada parametricamente usando um ângulo θ que varia de 0 a . Esse ângulo nos ajuda a percorrer todos os pontos da elipse de forma contínua.

Passo 3

Vamos dividir a equação da elipse em duas partes, uma para e outra para :
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor da elipse.

Passo 4

Para a coordenada , observamos que:
Isso vem da identidade trigonométrica . Então, podemos resolver para :

Passo 5

De forma semelhante, para a coordenada :
Resolvendo para :

Resposta

As equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada são:

Exercícios relacionados

Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( e são constantes).
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(e) .
Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(b) .
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(f)