Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(d)
.
(d)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a seguinte equação cartesiana de uma elipse:
Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas que correspondem a essa equação. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a parametrização de curvas utilizando funções trigonométricas como seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse pode ser representada parametricamente usando um ângulo θ que varia de 0 a
. Esse ângulo nos ajuda a percorrer todos os pontos da elipse de forma contínua.
Passo 3
Vamos dividir a equação da elipse em duas partes, uma para
e outra para
:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor da elipse.
Passo 4
Para a coordenada
, observamos que:
Isso vem da identidade trigonométrica
. Então, podemos resolver para
:
Passo 5
De forma semelhante, para a coordenada
:
Resolvendo para
:
Resposta
As equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada são:
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Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial (
e
são constantes).
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(e) .
(e)
Em cada item, calcule
e
. Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de
fornecido.
(b) .
(b)
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(f)
(f)