Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial (
e
são constantes).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é uma solução de uma equação diferencial onde
e
são constantes. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Essas equações têm a forma geral:
Onde
é a primeira derivada de
e
é a segunda derivada. Nosso plano é calcular essas derivadas da função dada e ver se conseguimos encontrar valores para
e
que satisfaçam a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Lembrando que a derivada de é
, a derivada de
é e a derivada de
é
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Derivando
:
A derivada de
é , a derivada de é
e a derivada de
é
.
Então:
Passo 4
Agora que temos
,
e
, vamos substituir na equação diferencial geral
:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com funções iguais:
- Termos com :
- Termos com
:
- Termos com
:
Passo 6
Para que a equação seja igual a zero para todo
, os coeficientes de ,
e
devem ser iguais a zero. Então, temos:
- Para :
Multiplicando todos os termos por 2:
- Para
:
Multiplicando todos os termos por 2:
- Para
:
Dividindo por 10:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações para
e
:
Da Equação 1:
Da Equação 2:
Somando as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
Sim, a função dada é solução da equação diferencial
. Ou seja, os valores das constantes são
e
.
Exercícios relacionados
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(e) .
(e)
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial (
e
são constantes).
(vii)
(vii)
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(d) .
(d)
Em cada item, calcule
e
. Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de
fornecido.
(b) .
(b)