Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( e são constantes).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é uma solução de uma equação diferencial onde e são constantes. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Essas equações têm a forma geral:
Onde é a primeira derivada de e é a segunda derivada. Nosso plano é calcular essas derivadas da função dada e ver se conseguimos encontrar valores para e que satisfaçam a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Lembrando que a derivada de é , a derivada de é e a derivada de é .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Derivando :
A derivada de é , a derivada de é e a derivada de é .
Então:

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituir na equação diferencial geral :

Passo 5

Vamos agrupar os termos com funções iguais:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :

Passo 6

Para que a equação seja igual a zero para todo , os coeficientes de , e devem ser iguais a zero. Então, temos:
  1. Para :
Multiplicando todos os termos por 2:
çã
  1. Para :
Multiplicando todos os termos por 2:
çã
  1. Para :
Dividindo por 10:
çã

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações para e :
Da Equação 1:
Da Equação 2:
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

Sim, a função dada é solução da equação diferencial . Ou seja, os valores das constantes são e .

Exercícios relacionados

Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(e) .
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( e são constantes).
(vii)
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(d) .
Em cada item, calcule e . Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de fornecido.
(b) .