Em cada item, calcule os dois lados e verifique que integral duplaR(partial F2partial x-partial F1partial y) d A=integralpartial R F cdot d r, em que F=(F1, F2).
(b) F(x, y)=(y^2, x^2 y) e R é o retângulo [0,5] times[0,4].

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar uma igualdade envolvendo integrais duplas e integrais de linha. Mais especificamente, temos um campo vetorial F(x, y) = (y^2, x^2 y) e um retângulo R definido pelo intervalo [0,5] times [0,4]. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma região com uma integral dupla sobre a região. Para resolver isso, vamos calcular os dois lados da igualdade e ver se eles são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral dupla:
integral duplaR(partial F2partial x - partial F1partial y) dA
Vamos identificar F1 e F2:
F1 = y^2, F2 = x^2 y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial F2partial x = partialpartial x (x^2 y) = 2x y
partial F1partial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Substituindo na integral dupla:
integral duplaR (2x y - 2y) dA = integral duplaR 2y(x - 1) dA

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre o retângulo R = [0,5] times [0,4]:
integral0^5 integral0^4 2y(x - 1) dy dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^4 2y(x - 1) dy = 2(x - 1) integral0^4 y dy = 2(x - 1) [ y^22 ]0^4 = 2(x - 1) ( 162 - 0 ) = 2(x - 1) times 8 = 16(x - 1)
Agora, integramos em relação a x:
integral0^5 16(x - 1) dx = 16 integral0^5 (x - 1) dx = 16 [ x^22 - x ]0^5 = 16 ( 252 - 5 - (0 - 0) ) = 16 ( 252 - 5 ) = 16 ( 25 - 102 ) = 16 times 152 = 120
Então, o valor da integral dupla é 120.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha:
integralpartial R F cdot dr
O contorno partial R é o perímetro do retângulo [0,5] times [0,4]. Vamos percorrer o retângulo no sentido anti-horário, dividindo em quatro segmentos:
  1. De (0,0) a (5,0)
  2. De (5,0) a (5,4)
  3. De (5,4) a (0,4)
  4. De (0,4) a (0,0)
Vamos calcular a integral em cada segmento.
Segmento 1: (0,0) a (5,0)
Aqui, y = 0 e dy = 0. Então, dr = (dx, 0).
F = (0^2, x^2 times 0) = (0,0)
Então,
F cdot dr = 0 times dx + 0 times 0 = 0
Integrando de 0 a 5:
integral0^5 0 , dx = 0
Segmento 2: (5,0) a (5,4)
Aqui, x = 5 e dx = 0. Então, dr = (0, dy).
F = (y^2, 5^2 y) = (y^2, 25 y)
Então,
F cdot dr = y^2 times 0 + 25 y times dy = 25 y , dy
Integrando de 0 a 4:
integral0^4 25 y , dy = 25 [ y^22 ]0^4 = 25 times 162 = 200
Segmento 3: (5,4) a (0,4)
Aqui, y = 4 e dy = 0. Então, dr = (-dx, 0).
F = (4^2, x^2 times 4) = (16, 4x^2)
Então,
F cdot dr = 16 times (-dx) + 4x^2 times 0 = -16 dx
Integrando de 5 a 0:
integral5^0 -16 dx = 16 integral0^5 dx = 16 times 5 = 80
Segmento 4: (0,4) a (0,0)
Aqui, x = 0 e dx = 0. Então, dr = (0, -dy).
F = (y^2, 0^2 times y) = (y^2, 0)
Então,
F cdot dr = y^2 times 0 + 0 times (-dy) = 0
Integrando de 4 a 0:
integral4^0 0 , dy = 0
Agora, somando todas as contribuições dos quatro segmentos:
0 + 200 + 80 + 0 = 280

Resposta

A integral dupla vale 120 e a integral de linha vale 280. Portanto, integral duplaR(partial F2partial x-partial F1partial y) d A = 120 neq 280 = integralpartial R F cdot d r. A igualdade não é verificada para o campo vetorial dado.

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