Em cada item, calcule os dois lados e verifique que , em que .
(b) e é o retângulo .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar uma igualdade envolvendo integrais duplas e integrais de linha. Mais especificamente, temos um campo vetorial e um retângulo definido pelo intervalo . Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma região com uma integral dupla sobre a região. Para resolver isso, vamos calcular os dois lados da igualdade e ver se eles são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral dupla:
Vamos identificar e :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na integral dupla:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre o retângulo :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Então, o valor da integral dupla é 120.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha:
O contorno é o perímetro do retângulo . Vamos percorrer o retângulo no sentido anti-horário, dividindo em quatro segmentos:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
  4. De a
Vamos calcular a integral em cada segmento.
Segmento 1: a
Aqui, e . Então, .
Então,
Integrando de 0 a 5:
Segmento 2: a
Aqui, e . Então, .
Então,
Integrando de 0 a 4:
Segmento 3: a
Aqui, e . Então, .
Então,
Integrando de 5 a 0:
Segmento 4: a
Aqui, e . Então, .
Então,
Integrando de 4 a 0:
Agora, somando todas as contribuições dos quatro segmentos:

Resposta

A integral dupla vale 120 e a integral de linha vale 280. Portanto, . A igualdade não é verificada para o campo vetorial dado.

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule os dois lados e verifique que .
(b) e é o cubo .
Em cada item, calcule a integral .
© e é qualquer curva com ponto inicial e ponto final .
Em cada item, use o teorema de Green para calcular a integral . Alerta! Lembre-se de que o teorema de Green exige que a curva esteja orientada de forma compatível com a região. Caso não esteja, é necessário inverter o sinal da resposta ao final.
© e é a fronteira do triângulo de vértices e orientada no sentido horário.
Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(a) e é a curva .