Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
, em que
.
(b)
e
é o retângulo
.
(b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar uma igualdade envolvendo integrais duplas e integrais de linha. Mais especificamente, temos um campo vetorial
e um retângulo
definido pelo intervalo
. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma região com uma integral dupla sobre a região. Para resolver isso, vamos calcular os dois lados da igualdade e ver se eles são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral dupla:
Vamos identificar
e
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na integral dupla:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre o retângulo
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Então, o valor da integral dupla é 120.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha:
O contorno
é o perímetro do retângulo
. Vamos percorrer o retângulo no sentido anti-horário, dividindo em quatro segmentos:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Vamos calcular a integral em cada segmento.
Segmento 1:
a
Aqui,
e
. Então,
.
Então,
Integrando de 0 a 5:
Segmento 2:
a
Aqui,
e
. Então,
.
Então,
Integrando de 0 a 4:
Segmento 3:
a
Aqui,
e
. Então,
.
Então,
Integrando de 5 a 0:
Segmento 4:
a
Aqui,
e
. Então,
.
Então,
Integrando de 4 a 0:
Agora, somando todas as contribuições dos quatro segmentos:
Resposta
A integral dupla vale 120 e a integral de linha vale 280. Portanto,
. A igualdade não é verificada para o campo vetorial dado.