Em cada item, use o teorema de Green para calcular a integral . Alerta! Lembre-se de que o teorema de Green exige que a curva esteja orientada de forma compatível com a região. Caso não esteja, é necessário inverter o sinal da resposta ao final.
© e é a fronteira do triângulo de vértices e orientada no sentido horário.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A função vetorial dada é . A curva é a fronteira de um triângulo com vértices em , e , orientada no sentido horário. Precisaremos aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área, e prestar atenção na orientação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green, que diz que para um campo vetorial suave em uma região simplesmente conexa com fronteira positivamente orientada, temos:
No nosso caso, a curva está orientada no sentido horário, que é a orientação negativa. Como o Teorema de Green requer a orientação positiva (sentido anti-horário), vamos calcular a integral usando a orientação positiva e depois inverter o sinal.

Passo 3

Identificando e do campo vetorial :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Calculando a diferença :
Então, a integral de área se simplifica para:

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar a região , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos descrever os limites dos integrais.
Para variando de 0 a 2. Para cada , varia de 0 até a linha que liga a .
A equação dessa linha pode ser encontrada pela interseção dos pontos:
Pontos e :
Declive
Então, a equação é
Portanto, os limites são:

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Expandindo o quadrado:
Então:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Portanto, a integral dupla é:

Passo 8

Lembrando que a curva estava orientada no sentido horário, que é a orientação negativa. Como aplicamos o Teorema de Green considerando a orientação positiva, devemos inverter o sinal da nossa resposta.
Portanto, a integral de linha é:

Resposta

A integral de linha é .

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Em cada item, calcule os dois lados e verifique que , em que .
(b) e é o retângulo .
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que .
(b) e é o cubo .
Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(a) e é a curva .
Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(b) e é a curva .