Em cada item, use o teorema de Green para calcular a integral
. Alerta! Lembre-se de que o teorema de Green exige que a curva esteja orientada de forma compatível com a região. Caso não esteja, é necessário inverter o sinal da resposta ao final.
©
e
é a fronteira do triângulo de vértices
e
orientada no sentido horário.
©
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. A função vetorial dada é . A curva
é a fronteira de um triângulo com vértices em
,
e
, orientada no sentido horário. Precisaremos aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área, e prestar atenção na orientação da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green, que diz que para um campo vetorial
suave em uma região simplesmente conexa
com fronteira
positivamente orientada, temos:
No nosso caso, a curva
está orientada no sentido horário, que é a orientação negativa. Como o Teorema de Green requer a orientação positiva (sentido anti-horário), vamos calcular a integral usando a orientação positiva e depois inverter o sinal.
Passo 3
Identificando
e
do campo vetorial
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Calculando a diferença
:
Então, a integral de área se simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos parametrizar a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Vamos descrever os limites dos integrais.
Para
variando de 0 a 2. Para cada
,
varia de 0 até a linha que liga
a
.
A equação dessa linha pode ser encontrada pela interseção dos pontos:
Pontos
e
:
Declive
Então, a equação é
Portanto, os limites são:
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Expandindo o quadrado:
Então:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Portanto, a integral dupla é:
Passo 8
Lembrando que a curva
estava orientada no sentido horário, que é a orientação negativa. Como aplicamos o Teorema de Green considerando a orientação positiva, devemos inverter o sinal da nossa resposta.
Portanto, a integral de linha é:
Resposta
A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
, em que
.
(b) e
é o retângulo
.
(b)
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
.
(b) e
é o cubo
.
(b)
Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(a) e
é a curva
.
(a)
Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(b) e
é a curva
.
(b)