Em cada item, use o teorema de Green para calcular a integral integralC F cdot d r. Alerta! Lembre-se de que o teorema de Green exige que a curva esteja orientada de forma compatível com a região. Caso não esteja, é necessário inverter o sinal da resposta ao final.
© F(x, y)=(y cos x-x y sen x, x y+x cos x) e C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(0,4) e (2,0) orientada no sentido horário.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Green. A função vetorial dada é . A curva F(x, y) = (y cos x - x y sen x, x y + x cos x) é a fronteira de um triângulo com vértices em C, (0,0) e (0,4), orientada no sentido horário. Precisaremos aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área, e prestar atenção na orientação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green, que diz que para um campo vetorial F = (P, Q) suave em uma região simplesmente conexa D com fronteira C positivamente orientada, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy
No nosso caso, a curva C está orientada no sentido horário, que é a orientação negativa. Como o Teorema de Green requer a orientação positiva (sentido anti-horário), vamos calcular a integral usando a orientação positiva e depois inverter o sinal.

Passo 3

Identificando P e Q do campo vetorial F:
P(x, y) = y cos x - x y sen x
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Calculando a diferença partial Qpartial x - partial Ppartial y:
Então, a integral de área se simplifica para:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (y + cos x - x sen x) - (cos x - x sen x) = y

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (0,4) e (2,0). Vamos descrever os limites dos integrais.
Para x variando de 0 a 2. Para cada x, y varia de 0 até a linha que liga (0,4) a (2,0).
A equação dessa linha pode ser encontrada pela interseção dos pontos:
Pontos (0,4) e (2,0):
Declive m = 0 - 42 - 0 = -2
Então, a equação é y = -2x + 4
Portanto, os limites são:
0 <= x <= 2
0 <= y <= -2x + 4

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD y , dx dy = integralx=0^2 integraly=0^-2x + 4 y , dy dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^-2x + 4 y , dy = [ 12 y^2 ]0^-2x + 4 = 12 (-2x + 4)^2

Passo 7

Agora, integramos em relação a x:
integral0^2 12 (-2x + 4)^2 , dx = 12 integral0^2 (4x^2 - 16x + 16) , dx
Expandindo o quadrado:
(-2x + 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16
Então:
12 [ 43 x^3 - 8x^2 + 16x ]0^2
Calculando nos limites:
Para x=2:
43 (8) - 8 (4) + 16 (2) = 323 - 32 + 32 = 323
Para x=0:
0 - 0 + 0 = 0
Portanto, a integral dupla é:
12 ( 323 ) = 163

Passo 8

Lembrando que a curva C estava orientada no sentido horário, que é a orientação negativa. Como aplicamos o Teorema de Green considerando a orientação positiva, devemos inverter o sinal da nossa resposta.
Portanto, a integral de linha é:
ointC F cdot dr = -163

Resposta

A integral de linha é -dfrac163.

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