Em cada item, calcule a integral integralC nabla f cdot d r diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(a) f(x, y)=x y+x+y e C é a curva r(t)=(2 cos t, 2 sen t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral integralC nabla f cdot d r de duas maneiras diferentes e ver se dá o mesmo resultado. A função que estamos usando é f(x, y) = xy + x + y, e a curva C é dada por para r(t) = (2 cos t, 2 sen t). Vamos precisar entender um pouco de cálculo de vetores e campos conservativos para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de forma direta. Para isso, precisamos parametrizar a curva C e encontrar a derivada da função f ao longo dessa curva.
A parametrização da curva é . Então, as derivadas em relação a r(t) = (2 cos t, 2 sen t) são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o gradiente de f. O gradiente de uma função f(x, y) é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = y + 1 e partial fpartial y = x + 1
Então, o gradiente é:
nabla f = (y + 1, x + 1)

Passo 4

Vamos agora calcular o produto escalar nabla f cdot drdt:
Substituindo nabla f cdot drdt = (y + 1)(-2 sen t) + (x + 1)(2 cos t) e :
Parece um pouco complicado, mas vamos integrar isso de x = 2 cos t a y = 2 sen t.

Passo 5

Perceba que a expressão nabla f cdot drdt é na verdade a derivada de f ao longo da curva, ou seja, ddt f(r(t)). Isso simplifica nossa vida! Então a integral fica:
integral0^pi ddt f(r(t)) , dt = f(r(pi)) - f(r(0))

Passo 6

Vamos calcular f nos pontos finais da curva:
r(0) = (2, 0) e r(pi) = (-2, 0)
Calculando f:
f(2, 0) = (2)(0) + 2 + 0 = 2
f(-2, 0) = (-2)(0) + (-2) + 0 = -2
Então, a integral direta é:
-2 - 2 = -4

Passo 7

Agora, vamos usar o Teorema do Campo Conservativo. Esse teorema diz que se nabla f é um campo conservativo, a integral ao longo de uma curva depende apenas dos pontos inicial e final.
Como já sabemos que nabla f é o gradiente de f, que é conservativo, a integral será:
f(final) - f(inicial) = -2 - 2 = -4

Resposta

A integral integralC nabla f cdot d r vale -4 tanto pela resolução direta quanto pelo teorema do campo conservativo. Os resultados são iguais.

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