Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(a)
e
é a curva
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
de duas maneiras diferentes e ver se dá o mesmo resultado. A função que estamos usando é
, e a curva
é dada por para
. Vamos precisar entender um pouco de cálculo de vetores e campos conservativos para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de forma direta. Para isso, precisamos parametrizar a curva
e encontrar a derivada da função
ao longo dessa curva.
A parametrização da curva é . Então, as derivadas em relação a
são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente de uma função
é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Vamos agora calcular o produto escalar
:
Substituindo
e :
Parece um pouco complicado, mas vamos integrar isso de
a
.
Passo 5
Perceba que a expressão
é na verdade a derivada de
ao longo da curva, ou seja,
. Isso simplifica nossa vida! Então a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular
nos pontos finais da curva:
Calculando
:
Então, a integral direta é:
Passo 7
Agora, vamos usar o Teorema do Campo Conservativo. Esse teorema diz que se
é um campo conservativo, a integral ao longo de uma curva depende apenas dos pontos inicial e final.
Como já sabemos que
é o gradiente de
, que é conservativo, a integral será:
Resposta
A integral
vale
tanto pela resolução direta quanto pelo teorema do campo conservativo. Os resultados são iguais.
Exercícios relacionados
Em cada item, use o teorema de Green para calcular a integral
. Alerta! Lembre-se de que o teorema de Green exige que a curva esteja orientada de forma compatível com a região. Caso não esteja, é necessário inverter o sinal da resposta ao final.
© e
é a fronteira do triângulo de vértices
e
orientada no sentido horário.
©
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
, em que
.
(b) e
é o retângulo
.
(b)
Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(b) e
é a curva
.
(b)
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(b) e
é qualquer curva com ponto inicial
e ponto final
.
(b)