Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(a) e é a curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de duas maneiras diferentes e ver se dá o mesmo resultado. A função que estamos usando é , e a curva é dada por para . Vamos precisar entender um pouco de cálculo de vetores e campos conservativos para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de forma direta. Para isso, precisamos parametrizar a curva e encontrar a derivada da função ao longo dessa curva.
A parametrização da curva é . Então, as derivadas em relação a são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o gradiente de . O gradiente de uma função é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Vamos agora calcular o produto escalar :
Substituindo e :
Parece um pouco complicado, mas vamos integrar isso de a .

Passo 5

Perceba que a expressão é na verdade a derivada de ao longo da curva, ou seja, . Isso simplifica nossa vida! Então a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular nos pontos finais da curva:
Calculando :
Então, a integral direta é:

Passo 7

Agora, vamos usar o Teorema do Campo Conservativo. Esse teorema diz que se é um campo conservativo, a integral ao longo de uma curva depende apenas dos pontos inicial e final.
Como já sabemos que é o gradiente de , que é conservativo, a integral será:

Resposta

A integral vale tanto pela resolução direta quanto pelo teorema do campo conservativo. Os resultados são iguais.

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Em cada item, use o teorema de Green para calcular a integral . Alerta! Lembre-se de que o teorema de Green exige que a curva esteja orientada de forma compatível com a região. Caso não esteja, é necessário inverter o sinal da resposta ao final.
© e é a fronteira do triângulo de vértices e orientada no sentido horário.
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que , em que .
(b) e é o retângulo .
Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(b) e é a curva .
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
(b) e é qualquer curva com ponto inicial e ponto final .