Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o domínio natural de definição da função
e esboçá-lo no plano
. Isso envolve entender para quais valores de
e
a função está bem definida, sem causar problemas como divisões por zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função produz um resultado válido. No nosso caso, a função tem uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática.
Passo 3
Olhemos para o denominador da nossa função:
. Para evitar a divisão por zero, devemos garantir que:
Simplificando, temos:
Passo 4
A expressão
representa a equação de um círculo com raio 3 centrado na origem do plano
. Portanto, a condição
significa que
não pode estar exatamente na circunferência desse c��rculo.
Passo 5
Então, o domínio natural da função é todo o plano
menos os pontos que estão na circunferência de raio 3. Em outras palavras, podemos expressar o domínio como:
Passo 6
Para esboçar isso no plano, imagine todo o espaço plano, mas com um círculo de raio 3 ao redor da origem que está “vazado”, ou seja, não faz parte do domínio. Todos os pontos dentro e fora desse círculo estão permitidos, exceto aqueles exatamente na circunferência.
Resposta
O domínio natural da função
é todo o plano
exceto os pontos que estão na circunferência de raio 3, ou seja:
No esboço, isso corresponde a todo o plano com um círculo de raio 3 “vazado” centralizado na origem.