Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano R^2.
z = 1/(x^2 + y^2 - 9).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o domínio natural de definição da função e esboçá-lo no plano . Isso envolve entender para quais valores de e a função está bem definida, sem causar problemas como divisões por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função produz um resultado válido. No nosso caso, a função tem uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática.

Passo 3

Olhemos para o denominador da nossa função: . Para evitar a divisão por zero, devemos garantir que:
Simplificando, temos:

Passo 4

A expressão representa a equação de um círculo com raio 3 centrado na origem do plano . Portanto, a condição significa que não pode estar exatamente na circunferência desse c��rculo.

Passo 5

Então, o domínio natural da função é todo o plano menos os pontos que estão na circunferência de raio 3. Em outras palavras, podemos expressar o domínio como:

Passo 6

Para esboçar isso no plano, imagine todo o espaço plano, mas com um círculo de raio 3 ao redor da origem que está “vazado”, ou seja, não faz parte do domínio. Todos os pontos dentro e fora desse círculo estão permitidos, exceto aqueles exatamente na circunferência.

Resposta

O domínio natural da função é todo o plano exceto os pontos que estão na circunferência de raio 3, ou seja:
No esboço, isso corresponde a todo o plano com um círculo de raio 3 “vazado” centralizado na origem.

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