Decida em cada caso se
existe:
e
;
Passo 1
Vamos resolver o limite da função
quando
se aproxima de
. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para determinar se esse limite existe, vamos verificar como a função se comporta ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é 0.
Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, ao longo da linha
:
Ao fazer
se aproximar de 0, o limite de
também é 0.
Até aqui, parece que o limite é 0 por esses caminhos. Mas para garantir que o limite existe, precisamos verificar se o resultado é o mesmo independentemente do caminho escolhido. Vamos testar um caminho diferente, como
:
Quando
se aproxima de 0,
também tende a 0.
Por enquanto, todos os caminhos testados levam a 0. No entanto, para ter certeza absoluta, podemos utilizar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Agora, ao fazer
se aproximar de 0,
também tende a 0, independentemente do valor de
.
Resposta
O limite existe e é igual a 0.