Decida em cada caso se existe:
e ;

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para determinar se esse limite existe, vamos verificar como a função se comporta ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo , ou seja, quando :
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é 0.
Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, ao longo da linha :
Ao fazer se aproximar de 0, o limite de também é 0.
Até aqui, parece que o limite é 0 por esses caminhos. Mas para garantir que o limite existe, precisamos verificar se o resultado é o mesmo independentemente do caminho escolhido. Vamos testar um caminho diferente, como :
Quando se aproxima de 0, também tende a 0.
Por enquanto, todos os caminhos testados levam a 0. No entanto, para ter certeza absoluta, podemos utilizar coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Agora, ao fazer se aproximar de 0, também tende a 0, independentemente do valor de .

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano .
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Dada a tabela
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
10.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule usando um polinômio interpolador linear pela forma de resolução de um sistema, forma de Lagrange e forma de Newton;
Verifique se as funções a seguir são diferenciáveis em :
Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano .
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