Decida em cada caso se lim (x, y) (x0, y0) f(x, y) existe:
f(x, y)=y^3x^2+y^2 e (x0, y0)=(0,0);

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para determinar se esse limite existe, vamos verificar como a função se comporta ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo f(x, 0) = 0^3x^2 + 0^2 = 0 , ou seja, quando f(x, x) = x^3x^2 + x^2 = x^32x^2 = x2 :
f(x, x^2) = (x^2)^3x^2 + (x^2)^2 = x^6x^2 + x^4 = x^6x^2(1 + x^2) = x^41 + x^2
Então, ao nos aproximarmos de f(r, theta) = (rsintheta)^3(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^3sin^3thetar^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^3sin^3thetar^2 = rsin^3theta pelo eixo , o limite é 0.
Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, ao longo da linha :
Ao fazer se aproximar de 0, o limite de também é 0.
Até aqui, parece que o limite é 0 por esses caminhos. Mas para garantir que o limite existe, precisamos verificar se o resultado é o mesmo independentemente do caminho escolhido. Vamos testar um caminho diferente, como :
Quando se aproxima de 0, também tende a 0.
Por enquanto, todos os caminhos testados levam a 0. No entanto, para ter certeza absoluta, podemos utilizar coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Agora, ao fazer se aproximar de 0, também tende a 0, independentemente do valor de .

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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