Verifique se as funções a seguir são diferenciáveis em :
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema! A gente precisa verificar se a função definida por
é diferenciável no ponto . Isso envolve conceitos de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade em cálculo multivariável. Vamos precisar checar se a função é contínua nesse ponto, calcular as derivadas parciais e, por fim, confirmar se a função pode ser aproximada linearmente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .
Vamos analisar:
Como tende a quando , concluímos que:
Então, a função é contínua em .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta nas direções dos eixos.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Então, temos e .
Passo 4
Com a continuidade garantida e as derivadas parciais calculadas, agora vamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, precisamos ver se a função pode ser aproximada por um plano tangente no ponto . Matemática falando, queremos ver se:
Substituindo os valores que já sabemos:
Vamos analisar esse limite. Sabemos que , então:
Como tende a quando , o limite também tende a . Portanto, a função atende à condição de diferenciabilidade.