Verifique se as funções a seguir são diferenciáveis em (0,0) :
f(x, y) = { x^4 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema! A gente precisa verificar se a função definida por
é diferenciável no ponto (0,0). Isso envolve conceitos de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade em cálculo multivariável. Vamos precisar checar se a função é contínua nesse ponto, calcular as derivadas parciais e, por fim, confirmar se a função pode ser aproximada linearmente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em (0,0). Para isso, precisamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) e ver se esse limite é igual a .
Vamos analisar:
Como tende a 0 quando , concluímos que:
Então, a função é contínua em (0,0).

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0). As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta nas direções dos eixos.
A derivada parcial em relação a x é:
A derivada parcial em relação a y é:
Então, temos e .

Passo 4

Com a continuidade garantida e as derivadas parciais calculadas, agora vamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, precisamos ver se a função pode ser aproximada por um plano tangente no ponto (0,0). Matemática falando, queremos ver se:
Substituindo os valores que já sabemos:
Vamos analisar esse limite. Sabemos que , então:
Como tende a 0 quando , o limite também tende a 0. Portanto, a função atende à condição de diferenciabilidade.

Resposta

A função f(x, y) é diferenciável em (0,0).

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