Verifique se as funções a seguir são diferenciáveis em :

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema! A gente precisa verificar se a função definida por
é diferenciável no ponto . Isso envolve conceitos de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade em cálculo multivariável. Vamos precisar checar se a função é contínua nesse ponto, calcular as derivadas parciais e, por fim, confirmar se a função pode ser aproximada linearmente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .
Vamos analisar:
Como tende a quando , concluímos que:
Então, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta nas direções dos eixos.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Então, temos e .

Passo 4

Com a continuidade garantida e as derivadas parciais calculadas, agora vamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, precisamos ver se a função pode ser aproximada por um plano tangente no ponto . Matemática falando, queremos ver se:
Substituindo os valores que já sabemos:
Vamos analisar esse limite. Sabemos que , então:
Como tende a quando , o limite também tende a . Portanto, a função atende à condição de diferenciabilidade.

Resposta

A função é diferenciável em .

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Decida em cada caso se existe:
e ;
Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano .
.
Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano .
;
Esboce os gráficos das funções a seguir:
;