Dada a tabela
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
e^x 10.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule e^2.5 usando um polinômio interpolador linear pela forma de resolução de um sistema, forma de Lagrange e forma de Newton;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular usando três métodos diferentes de interpolação: interpolação linear resolvida por um sistema, o polinômio de Lagrange e o polinômio de Newton. A tabela que temos nos dá valores de para alguns valores de , e vamos usar esses pontos para estimar .

Passo 2

Método 1: Interpolação Linear pela Resolução de um Sistema
Primeiro, a interpolação linear é a forma mais simples de interpolação, onde assumimos que a relação entre os pontos é uma linha reta. Para calcular , vamos usar os pontos mais próximos de , que são e .
Temos:
A fórmula da interpolação linear é:
Substituindo os valores:

Passo 3

Método 2: Polinômio de Lagrange
O polinômio de Lagrange é uma maneira de construir um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados. Para , usaremos novamente os pontos e .
A fórmula do polinômio de Lagrange para dois pontos é:
Substituindo:

Passo 4

Método 3: Polinômio de Newton
O polinômio de Newton utiliza diferenças divididas para construir o polinômio interpolador. Novamente, usaremos os pontos e .
A forma linear do polinômio de Newton é:
Substituindo os valores:

Resposta

Usando os três métodos de interpolação (linear por sistema, Lagrange e Newton), encontramos que .

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