Dada a tabela
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2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
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10.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Calcule
usando um polinômio interpolador linear pela forma de resolução de um sistema, forma de Lagrange e forma de Newton;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular
usando três métodos diferentes de interpolação: interpolação linear resolvida por um sistema, o polinômio de Lagrange e o polinômio de Newton. A tabela que temos nos dá valores de
para alguns valores de
, e vamos usar esses pontos para estimar
.
Passo 2
Método 1: Interpolação Linear pela Resolução de um Sistema
Primeiro, a interpolação linear é a forma mais simples de interpolação, onde assumimos que a relação entre os pontos é uma linha reta. Para calcular
, vamos usar os pontos mais próximos de
, que são
e
.
Temos:
A fórmula da interpolação linear é:
Substituindo os valores:
Passo 3
Método 2: Polinômio de Lagrange
O polinômio de Lagrange é uma maneira de construir um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados. Para
, usaremos novamente os pontos
e
.
A fórmula do polinômio de Lagrange para dois pontos é:
Substituindo:
Passo 4
Método 3: Polinômio de Newton
O polinômio de Newton utiliza diferenças divididas para construir o polinômio interpolador. Novamente, usaremos os pontos
e
.
A forma linear do polinômio de Newton é:
Substituindo os valores:
Resposta
Usando os três métodos de interpolação (linear por sistema, Lagrange e Newton), encontramos que
.
Exercícios relacionados
Construa a tabela das diferenças divididas com os dados abaixo e estime o valor de
(1.23) utilizando um polinômio interpolador de grau 4. Em seguida, encontre o erro cometido.
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0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
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-2.78 | -2.241 | -1.65 | -0.594 | 1.34 | 4.564 |
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano
.
.
Decida em cada caso se
existe:
e
;