Dada a tabela
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
10.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule usando um polinômio interpolador linear pela forma de resolução de um sistema, forma de Lagrange e forma de Newton;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular usando três métodos diferentes de interpolação: interpolação linear resolvida por um sistema, o polinômio de Lagrange e o polinômio de Newton. A tabela que temos nos dá valores de para alguns valores de , e vamos usar esses pontos para estimar .

Passo 2

Método 1: Interpolação Linear pela Resolução de um Sistema
Primeiro, a interpolação linear é a forma mais simples de interpolação, onde assumimos que a relação entre os pontos é uma linha reta. Para calcular , vamos usar os pontos mais próximos de , que são e .
Temos:
A fórmula da interpolação linear é:
Substituindo os valores:

Passo 3

Método 2: Polinômio de Lagrange
O polinômio de Lagrange é uma maneira de construir um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados. Para , usaremos novamente os pontos e .
A fórmula do polinômio de Lagrange para dois pontos é:
Substituindo:

Passo 4

Método 3: Polinômio de Newton
O polinômio de Newton utiliza diferenças divididas para construir o polinômio interpolador. Novamente, usaremos os pontos e .
A forma linear do polinômio de Newton é:
Substituindo os valores:

Resposta

Usando os três métodos de interpolação (linear por sistema, Lagrange e Newton), encontramos que .

Exercícios relacionados

Construa a tabela das diferenças divididas com os dados abaixo e estime o valor de (1.23) utilizando um polinômio interpolador de grau 4. Em seguida, encontre o erro cometido.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.78 -2.241 -1.65 -0.594 1.34 4.564
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano .
.
Decida em cada caso se existe:
e ;