Construa a tabela das diferenças divididas com os dados abaixo e estime o valor de
(1.23) utilizando um polinômio interpolador de grau 4. Em seguida, encontre o erro cometido.
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0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
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-2.78 | -2.241 | -1.65 | -0.594 | 1.34 | 4.564 |
Passo 1
Beleza, então a gente tem que construir uma tabela de diferenças divididas com os dados fornecidos e usar um polinômio interpolador de grau 4 pra estimar o valor de
. Depois, a gente também precisa encontrar o erro dessa estimativa. Vamos precisar entender como funcionam as diferenças divididas e como montar o polinômio de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
Como queremos um polinômio de grau 4, vamos utilizar cinco pontos para construir as diferenças divididas.
Passo 3
Vamos escolher os pontos mais próximos de
para ter uma melhor aproximação. Os cinco pontos mais próximos são:
Com esses pontos, vamos montar a tabela de diferenças divididas.
Passo 4
Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. A tabela começa com as colunas de
e
:
Passo 5
Com a tabela pronta, agora podemos escrever o polinômio interpolador de Newton de grau 4:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos estimar
substituindo
no polinômio
:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:
Passo 7
Para encontrar o erro cometido, precisamos da diferença entre o valor real de
e a estimativa que fizemos. Porém, como não conhecemos a função exata
, não podemos calcular o erro de forma precisa. Geralmente, esse erro é estimado usando a derivada de ordem superior, mas sem mais informações sobre
, vamos considerar que o erro está relacionado à precisão do polinômio interpolador.
Resposta
A estimativa de
utilizando o polinômio interpolador de grau 4 é aproximadamente
.