Construa a tabela das diferenças divididas com os dados abaixo e estime o valor de f (1.23) utilizando um polinômio interpolador de grau 4. Em seguida, encontre o erro cometido.
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
f(x) -2.78 -2.241 -1.65 -0.594 1.34 4.564

Passo 1

Beleza, então a gente tem que construir uma tabela de diferenças divididas com os dados fornecidos e usar um polinômio interpolador de grau 4 pra estimar o valor de . Depois, a gente também precisa encontrar o erro dessa estimativa. Vamos precisar entender como funcionam as diferenças divididas e como montar o polinômio de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
Como queremos um polinômio de grau 4, vamos utilizar cinco pontos para construir as diferenças divididas.

Passo 3

Vamos escolher os pontos mais próximos de para ter uma melhor aproximação. Os cinco pontos mais próximos são:
Com esses pontos, vamos montar a tabela de diferenças divididas.

Passo 4

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. A tabela começa com as colunas de e :

Passo 5

Com a tabela pronta, agora podemos escrever o polinômio interpolador de Newton de grau 4:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos estimar substituindo no polinômio :
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 7

Para encontrar o erro cometido, precisamos da diferença entre o valor real de e a estimativa que fizemos. Porém, como não conhecemos a função exata , não podemos calcular o erro de forma precisa. Geralmente, esse erro é estimado usando a derivada de ordem superior, mas sem mais informações sobre , vamos considerar que o erro está relacionado à precisão do polinômio interpolador.

Resposta

A estimativa de utilizando o polinômio interpolador de grau 4 é aproximadamente .

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