Construa a tabela das diferenças divididas com os dados abaixo e estime o valor de (1.23) utilizando um polinômio interpolador de grau 4. Em seguida, encontre o erro cometido.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.78 -2.241 -1.65 -0.594 1.34 4.564

Passo 1

Beleza, então a gente tem que construir uma tabela de diferenças divididas com os dados fornecidos e usar um polinômio interpolador de grau 4 pra estimar o valor de . Depois, a gente também precisa encontrar o erro dessa estimativa. Vamos precisar entender como funcionam as diferenças divididas e como montar o polinômio de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
Como queremos um polinômio de grau 4, vamos utilizar cinco pontos para construir as diferenças divididas.

Passo 3

Vamos escolher os pontos mais próximos de para ter uma melhor aproximação. Os cinco pontos mais próximos são:
Com esses pontos, vamos montar a tabela de diferenças divididas.

Passo 4

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. A tabela começa com as colunas de e :

Passo 5

Com a tabela pronta, agora podemos escrever o polinômio interpolador de Newton de grau 4:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos estimar substituindo no polinômio :
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 7

Para encontrar o erro cometido, precisamos da diferença entre o valor real de e a estimativa que fizemos. Porém, como não conhecemos a função exata , não podemos calcular o erro de forma precisa. Geralmente, esse erro é estimado usando a derivada de ordem superior, mas sem mais informações sobre , vamos considerar que o erro está relacionado à precisão do polinômio interpolador.

Resposta

A estimativa de utilizando o polinômio interpolador de grau 4 é aproximadamente .

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Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.
Dada a tabela
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
10.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule usando um polinômio interpolador linear pela forma de resolução de um sistema, forma de Lagrange e forma de Newton;
Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano .
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