Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=x e^xy ; D=[0,1] times[1,2].
Obs.: Note que em c) e d) f pode ser escrita como um produto de funções de uma variável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que vamos somar todos os valores dessa função dentro desse retângulo no plano xy. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que permite calcular o volume sob uma superfície definida pela função sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. A região integral duplaD f(x, y) , dA = integral0^1 integral1^2 x e^xy , dy , dx significa que varia de 0 a 1 e varia de 1 a 2. Então, podemos escrever a integral dupla assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral1^2 x e^xy , dy . Para isso, tratamos integral1^2 x e^xy , dy = x e^x [ ln y ]1^2 = x e^x (ln 2 - ln 1) como uma constante, já que estamos integrando em x e^x ln 2 :
Sabemos que a integral de em relação a é . Então, aplicando isso:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir esse resultado na integral externa, que é em relação a integral0^1 x e^x ln 2 , dx :
ln 2 integral0^1 x e^x , dx
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 5

Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Escolhemos:
  • [ x e^x - e^x ]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1 então
  • então
Aplicando a fórmula:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão com ln 2 cdot 1 = ln 2 :

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a .

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=x^2+y^2 ; D=[2,4] times[-1,1].
lim (x, y) (pi2, 0) cos (y+1)y-sin x
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = x^2 / (x + 1), 1/2 <= x <= 1.
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = 3*x^4 + 8*x^3 - 10 0 <= x <= 3.