Em cada item, calcule
, em que
.
.
Obs.: Note que em c) e d)
pode ser escrita como um produto de funções de uma variável.
Obs.: Note que em c) e d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
. Isso significa que vamos somar todos os valores dessa função dentro desse retângulo no plano xy. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que permite calcular o volume sob uma superfície definida pela função
sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. A região
significa que
varia de 0 a 1 e
varia de 1 a 2. Então, podemos escrever a integral dupla assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Para isso, tratamos
como uma constante, já que estamos integrando em
:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Então, aplicando isso:
Como
, simplificamos para:
Passo 4
Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir esse resultado na integral externa, que é em relação a
:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 5
Para resolver
, vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando a fórmula:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão com
:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
é igual a
.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule
, em que
.
.
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.