Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = x^2 / (x + 1), 1/2 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função no intervalo de . Isso faz parte do assunto de Cálculo de Máximos e Mínimos de Funções. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função e também avaliar os valores nos limites do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular a derivada da função e ver onde ela é igual a zero ou onde não existe.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, vamos encontrar onde :
Isso acontece quando o numerador é zero:
Fatorando:
Assim, ou
No entanto, nosso intervalo é de a , então nenhum desses pontos está dentro do intervalo. Portanto, não temos pontos críticos internos.

Passo 3

Como não temos pontos críticos dentro do intervalo, o próximo passo é avaliar a função nos limites do intervalo, ou seja, em e .
Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Resposta

No intervalo , a função apresenta:
  • Mínimo absoluto em com valor
  • Máximo absoluto em com valor

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=x e^xy ; D=[0,1] times[1,2].
Obs.: Note que em c) e d) f pode ser escrita como um produto de funções de uma variável.
Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=x^2+y^2 ; D=[2,4] times[-1,1].
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = 3*x^4 + 8*x^3 - 10 0 <= x <= 3.
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = -2 x^3 + 3 x^2 + 12 x - 5 -3 <= x <= 3.