Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=x^2+y^2 ; D=[2,4] times[-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . Aqui, estamos trabalhando com integral dupla, que é usada para encontrar o volume sob a superfície de uma função em uma determinada região no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região integral duplaD (x^2 + y^2) , dA = integral2^4 integral-1^1 (x^2 + y^2) , dy , dx . Isso significa que varia de 2 a 4 e varia de -1 a 1. Então, nossa integral dupla fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando com relação a integral-1^1 (x^2 + y^2) , dy = integral-1^1 x^2 , dy + integral-1^1 y^2 , dy . Isso significa que tratamos x^2 integral-1^1 dy = x^2 [y]-1^1 = x^2 (1 - (-1)) = 2x^2 como uma constante enquanto integramos integral-1^1 y^2 , dy = [ y^33 ]-1^1 = 1^33 - (-1)^33 = 13 - (-13) = 23 :
integral-1^1 (x^2 + y^2) , dy = 2x^2 + 23
A primeira parte, , é simples porque é constante em relação a :
A segunda parte, , integra :
Juntando as duas partes:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado com relação a integral2^4 ( 2x^2 + 23 ) , dx = 2 integral2^4 x^2 , dx + 23 integral2^4 dx de 2 a 4:
2 integral2^4 x^2 , dx = 2 [ x^33 ]2^4 = 2 ( 4^33 - 2^33 ) = 2 ( 643 - 83 ) = 2 ( 563 ) = 1123
Primeira integral:
23 integral2^4 dx = 23 [x]2^4 = 23 (4 - 2) = 23 times 2 = 43
Segunda integral:

Resposta

Somando os resultados das integrais:
1123 + 43 = 1163
Então, o valor da integral dupla é .

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lim (x, y) (pi2, 0) cos (y+1)y-sin x
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Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=x e^xy ; D=[0,1] times[1,2].
Obs.: Note que em c) e d) f pode ser escrita como um produto de funções de uma variável.
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = x^2 / (x + 1), 1/2 <= x <= 1.